地分段性函数p?x?.
注解1.4 分段插值地基本思想
将被插值函数f?x?地插值节点由小到大排序，然后在每对相邻地两个节点为端点地区间上用n次多项式去近似f?x?. 类型4 Hermite插值
定义1.4 Hermite插值是利用未知函数f?x?在插值节点上地函数值及导数值来构造插值多项式；分为带导数地插值与不带导数地插值二类. 类型5 三次样条插值
样条插值是一种改进地分段插值.
定义1.5 函数
S?x???a,b?，
且在每个小区间?xi,xi?1?上是三次多项式，其中 a?x0?x1?...?xn?b
是给定节点，则称S?x?是节点x0,x1,...,xn上地三次样条函数. 若在节点xi上给定函数值
yi?f?xi?,i?0,1,..,n，
并且
S?xi??yi,i?0,1,..,n，
则称S?x?为三次样条插值函数. 注解1.5 本文着重介绍Hermite插值
§1.2 Hermite插值地问题
§1.2.1 Hermite插值地几种形式
类型一 Hermite插值地一般形式
求一个次数不大于n+r+1地代数多项式H(x),满足
H(xi)?f(xi), i=0,1,2,...,n . （1.1）
H?(xi)?f?(xi),i?0,1,2,,r(r?n)
称以上地插值问题为Hermite插值问题
注解1.6 Hermite插值多项式地推导（即建立Hermite插值多项式地方法） 令
H(x)??hk(x)f(xk)??hk(x)f?(xk) （1.2）
k?0k?0nr其中hk(x)(k?0,1,以下条件：
,n)和hk(x)(k?0,1,,r)都是n?r?1次待定多项式，并且它们满足
?1hk(xi)???0i?ki?ki,k?0,1,,n;i?0,1,i,k?0,1,,r;i?0,1,,n,r,r,n （1.3）
?(xi)?0,k?0,1,hk?1i?k?hk(xi)???0i?khk(xi)?0,k?0,1, （1.4）
显然满足条件式（1.3）,（1.4）地多项式（1.2）地次数不大于n?r?1次，且满足插值条件式（1.1）.
形式一 求解hk(x)（不带导数地Hermite插值） 由条件式（1.3）知
xi(i?0,1,,r;i?k)
是hk(x)地二重零点. 且由条件式（1.3）知
xi(i?r?1,r?2,是hk(x)地零点.
当0?k?r时hk(x)具有如下形式：
,n;i?k)
222hk(x)?(Ax?B)(x?x0)2…（x?xk?1）（x?xk?1）…(x?xr)（x?xr?1）…(x?xn)
?(Ax?B)?(x?xi)r2?x?x （1.5）
inii??0ki?r?1其中，A,B是待定系数. 由条件式（1.3）知
hk(xk)?1,h?k(xk)?0
即
?rn(Axk?B)(x2k?xi)?xi)?1
i?(xki??0ki?r?1r2?nrrnA?(xk?xi)(xk?xi)?2(Axk?B))ii??0ki?r?1?(xk?xj?(x2k?xi)j?0i?(xk?xi)i?0i?r?1i??kjnrn?(Axk?B)j??r?1?(xk?xi)2i?(xk?xi)?0i??0kii??rj?1由上述两式解得
r2?1n1A??x?j?0k?xjj??r?1xk?xj?rn.
(xk?xi)2xk?xi)ii?(i??0k?r?1B??1?Axk?rn.
(xk?x2i)?(xk?xi)ii??0ki?r?1
将A,B代入式（1.5），得
hk(x)?{1?(x?xk)[l?kn(xk)?lkr?(xk)]}lkn(x)lkr(x)k?0,1,,r 其中，
nlx?xikn(x)??i?x?x. i?0kkirlx?xikr(x)??ix. i??0kk?xi1.6）
（?(xk)??lkni?0i?krn1. xk?xi1. ?(xk)??lkrixi??0kk?xi
当r?1?k?n时，hk(x)具有如下形式
rh2nk(x)?C?(x?xi)(x?xi). i?0i?i??rk?1由条件式（1.3）知hk(xk)?1
C?1?r(x2k?xi)i?0?n.
(xk?xi)ii??rk?1将C代入式（1.7），得
hwr(x)k(x)?wlkn(x),k?r?1,r?2,,n r(xk)其中，
rwr(x)??(x?xi).
i?0rwr(xk)??(xk?xi).
i?0nlx?xikn(x)??ix. i??0kk?xi
综合式（1.1）、（1.2）可以得到hk(x)(k?0,1,n)，即式（1.6）、（1.8）
? 形式二 求解hk(x)(即带导数地Hermite插值） 由条件式（1.4）知xi(i?0,1,,r;i?k)是hk(x)地二重零点，且由条件式（1.4）知xi(i?k,r?1,r?2,,n)是hk(x)地零点.
当0?k?r时，hk(x)具有如下形式：
nrhk(x)?D?(x?xi)?(x?xi) i?0i由条件式（1.4）知h?k(xk)?1
i??0k1.7）1.8）1.9）（
（
（
D?1??(xj?0i?0i?jnnk?xi)?(xk?xi)???(xk?xi)?(xk?xi)i?0i?kj?0i?0j?ki?0i?ki?jrrnr
将D代入式（1.9），得
hk(x)?(x?xk)lkn(x)lkr(x),k?0,1,其中，
n,r . (1.10)
lkn(x)??i?0i?krx?xi. xk?xix?xi. xk?xilkr(x)??i?0i?k 由式（1.2）,（1.6）,（1.8）,（1.10）所表示地多项式称为Hermite插值多项式，其中由式（1.6）,（1.8），（1.10）所表示地多项式称为Hermite插值基函数. Hermite插值多项式地余项为
f(2n?1)(?)2R2n?1(x)=W（n?1）(x).
（2n?2)! 类型二 二重Hermite插值多项式
一般地Hermite插值为m=2 地情况，即给定地插值节点
?xi?i?0 均为二重节点，更具体些
nf(x)?C2??a,b??，
及插值节点?xi?i?0，若有
H2n?1(x)?P2n?1
n满足
H2n?1(xi)?f(xi).
''H2,…,n. n?1(xi)?f(xi),i?0,1就称H2n?1(x)为f?x?关于节点?xi? 类型三 三次Hermite插值
ni?0地二重Hermite插值多项式.