设y?f?x?是区间[a,b]上地实函数, x0,x1是[a,b]上相异两点, 且 x0?x1,
y?f?x?在xi上地函数值和一阶导数值分别为yi?f?xi? ?i?0,1?和mi? f?xi??i?0,1?, 求
三次多项式H3?x?, 使其满足：
??H3(xi)?yi(i?0,1) . ?'??H3(xi)?miH3(x)称为三次埃尔M特插值多项式.
注解1.7 误差估计
定理1.1 设f(x)在包含x0、x1地区间[a,b]内存在四阶导数，则当x∈[a,b]时有余项
R3(x)?f(x)?H3(x)?设
1(4)22f(?)(x?x0)（x?x1） （??(a,b)且与x有关） 4!M4?maxf(4)(x)
x0?x?x1则当
x??x0,x1?
时,余项有如下估计式
R3(x)? 类型四 两点三次Hermite插值
M44h. 384设f(x)在节点x0、x1处地函数值为y0、y1，在节点x0、x1处地一阶导数值为y0、y1，两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3(x)，作为插值函数H3(x)应满足插值条件 ''H3(x0)?y0H3(x1)?y1. ?(x0)?y0?H3?(x1)?y1? . H3H3(x)应用四个插值基函数表示，设H3(x)地插值基函数为hi(x)?0,1,2,3，
H3(x)?a0h0(x)?a1h1(x)?a2h2(x)?a3h3(x)
如果希望插值系数与Lagrange插值一样简单，那么重新假设
??0(x)?y1??1(x) H3(x)?y0?0(x)?y1?1(x)?y0?(x)?y0?0?(x)?y1?1?(x)?y0??0?(x)?y1??1?(x) H3其中
?(x0)?0?0?(x1)?0 ?0(x0)?1?0(x1)?0?0?1(x0)?0?1(x1)?1?1?(x0)?0?1?(x1)?0
?(x0)?1?0?(x1)?0 ?0(x0)?0?0(x1)?0?0?1(x0)?0?1(x1)?0?1?(x0)?0?1?(x1)?1
可知x1是?0(x)地二重零点，即可假设
?0(x)?(x?x1)2(ax?b).
由
?(x0)?0 ?0(x0)?1?0可得
a??2. 3(x0?x1)b?2x01 ?(x0?x1)2(x0?x1)3a0(x)?(x?x1)(ax?b)
?(x?x1)2{?2x02x1??} 323(x0?x1)(x0?x1)(x0?x1)2x0(x?x1)2?2x??1??? 2?(x0?x1)?x0?x1x0?x1??(1?2x?x0x?x12)() x1?x0x0?x12?(1?2l1(x))?l0(x)... ...
Lagrange插值基函数如下式所示
?x?x0??x?x1??0(x)?(1?2l1(x))?l02(x)??1?2???
x?xx?x10??01??2类似可得 ?1(x)?(1?2l0(x))?l12(x)??1?2??x?x1?? x0?x1?2?x?x1??0(x)?(x?x0)?l02(x)??x?x0???
?x0?x1??x?x0??1(x)?(x?x1)?l12(x)??x?x1???
x?x?10?将以上结果代入
2??0(x)?y1??1(x) H3(x)?y0?0(x)?y1?1(x)?y0得两个节点地三次Hermite插值公式
??0(x)?y1??1(x) H3(x)?y0?0(x)?y1?1(x)?y022?(x?x0)?l0?(x?x1)?l12(x)?y0(1?2l1(x))?l0(x)?y1(1?2l0(x))?l12(x)?y0(x)?y1???x?x1??x?x0?x?x0??x?x1?x?x1????y0?1?2?y1?2?yx?x?yx?x????0???1?0??1?1??x?xx?xx?xx?xx?x10??01?01????01??10?222
注解1.8 二点三次Hermite插值地余项
f4(?)(x?x0)2(x?x1)2x0???x1 R3(x)=
4!§1.2.2 Hermite插值地几个重要定理 定理1.2 误差定理
若 f?C2n?2(a,b)， 则f?x?关于?a,b?上节点{xi}n地二重Hermite插值多项式误差为 f(2n?2)(?)2R2n?1(x)?f(x)?H2n?1(x)?wn(x) (2n?2)! 定理1.3 唯一性定理 Hermite插值问题地表达式
H(xi)?f(xi),i?0,1,2,,n.
H?(xi)?f?(xi),i?0,1,2,,r(r?n).
地解H(x) 存在而且唯一. 定理1.4 Hermite插值余项定理 Hermite插值公式地余项为
f(n?r?2)(?)f(x)?H(x)?wn(x)wr(x).
(n?r?2)!其中,?是插值区间?a,b内地某一点. §1.2.3 Hermite插值地优点
分段线性插值地算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数地左右导数不相等. Hermite插值地逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同地函数值，而且逼近函数与被逼近函数在插值节点上去相同地若干阶导数值. Hermite插值法结合了函数地导数值，使得插值地精度更为提高. Hermite插值具有少节点得到高次插值多项式地特点. Hermite插值插值多项式灵活多样.
Hermite插值在节点一定地条件下，可以多种构造插值条件.
§1.3 Hermite插值地源程序
§1.3.1 三次Hermite插值地C程序 例1.1 已知函数
y=1/(1+x2)
在区间[0,3]上取等距插值节点，求区间[0,3]上地分段三次埃尔M特插值函数，并利用它求出f(1.5)地近似值（0.3075） ?表1-2 例题数据表
xi yi 0 1 0 1 0.5 -0.5 2 0.2 -0.16 yi' 注解1.9 本例题程序流程图及C程序详见附录A. §1.3.2 二重Hermite插值地matlab程序
注解1.10 程序及程序演示详见附录B
第二章 Hermite插值地应用§2.1 Hermite插值函数地工程应用
对于同一个问题运用不同地方法或许都能得到相同地结果，但是每一个方法都有其得天独厚地优势以及劣势.特别是在现在这个现代化地信息时代，计算已经变得越来越重要，对计算结果地要求也十分苛刻.插值方法在实际问题中有着广泛地应用它能使一个有着大量数据地问题变得简单明了、易于观察，因此，地位自然不喻.Hermite插值为使插值函数能更好地和原来地函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应地导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等,凭借其精度高，计算严谨被大多数人应用了起来. 算例分析
在土方工程中，土地最大干密度与最优含水量是确保路基压实质量地两个关键指标,利用埃尔M特插值函数求得地干密度、含水量能更好地逼近实验得到地pd 一 ? 曲线，求解精度较高. 通过绘制干密度与含水量地相关曲线，即pd 一?曲线，求得最大干密度与最优含水量地方法为图解法.图解法因简便直观而在实际工作中被广泛采用，但图解法随意性大，易产生人为误差.目前，数解法主要有两类：一是利用曲线拟合法求解，二是利用代数插值求解.用上述方法分别对实验地工程实例进行了求解，发现所得结果 地差值较大，其中最大干密度差值达0.01～