8．将数列分组：??1??21??321??432?,?,?,?,,?,?,,,112?????123??1231)1?,.设..a2010位于第n组，由?．4?63?622?57项，
n(n?1)nn(??2010?22，解得n?63，所以a2010位于第63组中的第2010?故a2010?757，选B．
1?2?1?212．P(A)?234?20．
(?x?2x)dx14．由FP?BC，FQ?AC，得C、Q、F、P四点共圆，所以?CQP??CFP??B ?180???A??C??180???60??70???50?．
?15．即求直线x?y?2?0与抛物线段y?x2（0?y?2）的交点，交点的直角坐标为??1,1?． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
????????????（1）解：依题意得，AB?OB?OA?cos??3,sin???3，???????2分
?????所以AB2??cos??3??sin??2?3?2
?13?6cos??23sin??13，???????????????4分
所以3sin??3cos?． 因为cos??0，所以tan??（2）解：由0???8分 所以S?AOB?????1????OAOBsin?AOB 23．????????????????????6分
?2OB???，得?A?6．??????????????????????
?1????23?1?sin?????26?????3sin????，?????????10分
6??所以当??
?3时，△AOB的面积取得最大值3．????????????12分
17．（本小题满分12分）
（1）解：?的所有可能取值为0，1，2．??????????1分
- 6 -
依题意，得P(??0)?C4C363?15， P(??1)?C4C2C3621?35，
P(??2)?C4C2C6312?15．
∴?的分布列为
? P 0 15 1 35 2 15 ??????4分
∴ E??0?15?1?35?2?15?1．???????????????????6分
（2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B， 则P?A??C52C63?12，P?AB??C4C631?15， ???????????????10分
∴P?BA??P?AB?P?A??25．
25故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．????????12分
解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C，
2从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为C5?10，?????????????
8分
1男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C4?4，????????????10分
∴P?C??C4C251?410?25．
z
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
25．?????????12分
y
x
18．（本小题满分14分） 方法1：
以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角
- 7 -
坐标系，则D?0,0,0?，C?0,2,0?，A1?1,0,1?，D1?0,0,1?． ??????????????????????????1分 设E(1,y0,0)?0?y0?2?．?????????????2分 （1）证明： ??????????∵D1E??1,y0,?1?，A1D???1,0,?1?． ??????????则D1E?A1D??1,y0,?1????1,0,?1??0，
??????????∴D1E?A1D，即D1E?A1D． ???????????4分
（2）解：当AE?2?3时，二面角D1?EC?D的平面角为
?4．???????5分
?????????∵EC?(?1,2?y0,0)，D1C??0,2,?1?，????????????????6分
设平面D1EC的法向量为n1?(x,y,z)，
???????x?y(2?y0)?0?n1?EC?0??则?????， ???????????????8分 ?2y?z?0???n1?D1C?0取y?1，则n1??2?y0,1,2?是平面D1EC的一个法向量．??????????9分 而平面ECD的一个法向量为n2??0,0,1?，??????????????10分 要使二面角D1?EC?D的平面角为则cos?4?cos?n1,n2??n1?n2n1?n2?4，
2(2?y0)?1?2222??22，???????12分
解得y0?2?∴当AE?2?
方法2：
3?0?y0?2?．
3时，二面角D1?EC?D的平面角为
?4．?????????14分
（1）证明：连结AD1，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
?AE∵BA?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴AD1．?????????????
1分
∵AD?AA1?1，则四边形ADD1A1是正方形，∴A1D?AD1．?????????????
D1 - 8 - C1A B1A1D C
2分
∵AE?AD1?A，∴A1D?平面AD1E．??????3分 ∵D1E?平面AD1E，∴D1E?A1D．???????4分
33（2）解：当AE?2?时，二面角D1?EC?D的平面角为
?6．
?????????????????????????5分
连结DE，过D作DH?EC交EC于点H，连结D1H．????????????????6分
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，D1D?平面ABCD，EC?平面ABCD， ∴D1D?EC．???????????????????7分
∵DH?D1D?D，∴EC?平面D1DH．?????????????8分 ∵D1H?平面D1DH，∴EC?D1H．???????????????9分 ∴?D1HD为二面角D1?EC?D的平面角，即?D1HD?B?2?x设AE?x?0?x?2?，则E?6．??????????10分
2，进而EC?1??2?x?．????????????
11分
在△DEC中，利用面积相等的关系有，EC?DH?CD?AD， ∴DH?21??2?x?2．???????????????????12分
?6在Rt△D1DH中，∵?D1HD?1??2?x?22，∴tan33?6?D1DDH．??????????13分
∴?33，解得x?2??0?x?2?．
?6故当AE?2?
33时，二面角D1?EC?D的平面角为
．?????????14分
19．（本小题满分14分）
?????（1）解：设P(x,y)，则MN?(2,0)????????，NP?(x?1,y)，MP?(x?1,y)．????????
2分
- 9 -
??????????????????由|MN|?|NP|?MN?MP，
得2(x?1)2?y2?2(x?1)，??????????????????4分 化简得y2?4x．
所以动点P的轨迹方程为y2?4x．?????????????5分
（2）解：由点A?t,4?在轨迹y2?4x上，则42?4t，解得t?4，即A?4,4?．??????6分
当m?4时，直线AK的方程为x?4，此时直线AK与圆x2?(y?2)2?4相离．?????7分
当m?4时，直线AK的方程为y?8分
圆心(0,2)到直线AK的距离d?2m?816?(m?4)244?m(x?m)，即4x?(m?4)y?4m?0，??????
，
令d?2m?816?(m?4)2?2，解得m?1；
令d?2m?816?(m?4)2?2，解得m?1；
令d?2m?816?(m?4)2?2，解得m?1．
22综上所述，当m?1时，直线AK与圆x?(y?2)?4相交；
22当m?1时，直线AK与圆x?(y?2)?4相切；
22当m?1时，直线AK与圆x?(y?2)?4相离．???????14分
20．（本小题满分14分）
（1）解：∵f?x??x?ax，∴f'?x??3x?2ax. ?????????1分
322∵函数f?x?在区间?0,??2??2?2f'x?3x?2ax?0内是减函数，∴在????0,?上恒成
3??3?立．????2分
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