第八章章末综合检测
(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)
(检测范围：第八章) (时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是 π??
A.?0，2? ???ππ?C.?－4，4? ??
B．(0，π) π??3π??
0，??∪?，π? D.
?4??4?
( )
解析 D 直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α. 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.
π??
∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是?0，4?；
???3π?
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是?4，π?.
??
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是
A．D＋E＝2 C．D＋E＝－1
B．D＋E＝1 D．D＋E＝－2
( )
E?DE?D
解析 D 依题意得，圆心?－2，－2?在直线x＋y＝1上，因此有－2－2＝
??1，即D＋E＝－2.
3．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方
( )
程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x2y211
解析 C 方程可化为1＋1＝1，若焦点在y轴上，则n>m>0，即m>n>0.
mn5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x＋y＋4＝0 C．4x－y－12＝0
B．x－4y－4＝0 D．4x－y－4＝0
解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)， 方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
x22
6．已知F1、F2是椭圆4＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为
A．(－2,0) C．(2,0)
B．(0,1)
D．(0,1)和(0，－1)
( )
解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ?|PF1|＋|PF2|?2
?＝4， ∴|PF1|·|PF2|≤?
2??
当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
→→
7．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA→
＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )
A．直线 C．圆
B．椭圆 D．双曲线
→→→
解析 A 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－?x＝3λ1－λ2，
1,3)，即?
?y＝λ1＋3λ2，
3y－x?λ＝?210， 解得?y＋3x
λ＝??110，
y＋3x3y－x
又λ1＋λ2＝1，所以10＋10＝
1，即x＋2y＝5，所以轨迹为直线，故选A.
x2y2
8．设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离1
心率为2，则此椭圆的方程为
x2y2
A.12＋16＝1 x2y2
C.48＋64＝1
x2y2
B.16＋12＝1 x2y2
D.64＋48＝1
( )
解析 B 抛物线的焦点为(2,0)， c＝2，??
∴由题意得?c1
＝，??m2∴m＝4，n2＝12， x2y2
∴方程为16＋12＝1.
x2y2
9．设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为
5A.4 5C.2
B．5 D.5
( )
b
解析 D 双曲线的渐近线为y＝±ax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可．
y＝x2＋1，??由?b
y＝x，??a
b
得x2－ax＋1＝0.
b2
∴Δ＝a2－4＝0，即b2＝4a2， ∴e＝5.
x2y2
10．(2013·银川六校联考)已知抛物线y＝4x的准线过双曲线a2－b2＝1(a>0，
2
b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )
A.5 C.3
2
B．25 D．23
x2y2
解析 B ∵抛物线y＝4x的准线x＝－1过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的b
左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bx.∵双曲线的一条渐近线
ax＝±方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.
x2y2
11．已知椭圆36＋9＝1，以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在的直线斜率为
1A.2 C．2
1B．－2 D．－2
( )
解析 B 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
22x1y1??36＋9＝1，22x2y2??36＋9＝1，
则?
两式相减，得
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?
＋＝0，
3692?x1－x2?4?y1－y2?y1－y21∴＝－，∴k＝＝－992. x1－x2
12．(2013·杭州五校质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其x22
焦点的距离为5，双曲线a－y＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为
1A.9 1C.3
1B.4 1D.2
( )
解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距pp
离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－2的距离也为5，∴1＋2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝
4
，1＋a
x411
而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，＝，∴a＝9.
a1＋aa
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析 当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大． 因为A(1,1)、B(0，－1)，所以kAB＝
－1－1
＝2，所以两平行线的斜率为k＝0－1
11
－2，所以直线l1的方程是y－1＝－2(x－1)，即x＋2y－3＝0.
【答案】 x＋2y－3＝0
14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.
解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|14
＝2，解得k＝±7. k2＋1
14
【答案】 ±7 15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析
如图，圆的方程可化为 (x－3)2＋(y－4)2＝5，
∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25. 在△OQM中，
11|QA|·|OM|＝|QM|， 22|OQ|·