25×5
∴|AQ|＝＝2，∴|PQ|＝4.
5【答案】 4
→→→
16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．
解析
以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，x2y2
∴b＝2，∴方程为2－2＝1(x>2)．
x2y2
【答案】 2－2＝1(x>2)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程．
解析 (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得
2＋a
＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. a＋1
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
?2＋a?
，0?，N(0,2＋a)， (2)由直线方程可得M?
?a＋1?又因为a>－1.
2
12＋a1[?a＋1?＋1]
故S△OMN＝2××(2＋a)＝2×
a＋1a＋1
11??1?
?a＋1?＋＋2?≥×?2＝2?a＋1??2?
1
?a＋1?·＋2 ]＝2，当且仅当a＋1＝
a＋1
1
，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0. a＋1
18．(12分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程． 解析 (1)设圆心为(a，b)，
?b＝a＋4，?a＝－2，则?2解得? 2b＝2，??a＋b＝22，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；
当斜率存在时，设直线为y－2＝kx， ?－2k?2
则由题意得，8＝4＋?2?，无解．
?1＋k?综上，直线方程为x＝0.
19．(12分)(2013·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，?3?0)，且椭圆过点?1，－?.
2??
(1)求椭圆方程；
?6?
(2)过点?－5，0?作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆
??的左顶点．试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
x2y2
解析 (1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
a2－b2＝3，???3?
由c＝3，椭圆过点?1，－?可得?132??＋22＝1，??a4b
2
?a＝4，x22解得?2所以可得椭圆方程为4＋y＝1.
?b＝1，
6
(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－5， 6
x＝ky－??5，
联立直线MN和椭圆的方程：?2
x2＋y??4＝1，1264
化简得(k2＋4)y2－5ky－25＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
6412k
则y1y2＝－，y＋y＝，
25?k2＋4?125?k2＋4?
→→4162
又A(－2,0)，则AM·AN＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k＋1)y1y2＋5k(y1＋y2)＋25π＝0，所以∠MAN＝2.
20．(12分)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－42y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，2)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．
y2x2
解析 (1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为a2＋2＝
a－21(a>2)．
21
将点A(1，2)代入方程得a2＋2＝1，
a－2整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍去)， y2x2
故所求椭圆方程为4＋2＝1. (2)设直线BC的方程为y＝2x＋m，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简得4x2＋22mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 可得0≤m2<8.(*)
m2－42
由x1＋x2＝－2m，x1x2＝4， 3·16－2m2故|BC|＝3|x1－x2|＝.
2|m|
又点A到BC的距离为d＝，
3m2?16－2m2?1
故S△ABC＝2|BC|·d＝
4
22
12m＋?16－2m?≤·＝2，
242
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足*式)，此时直线l的方程为y＝2x±2.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)求△F1MF2的面积．
解析 (1)∵双曲线离心率e＝2， ∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 知λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，
→→
∴MF1·MF2＝(23－3，－m)·(－23－3，－m)＝m2－3＝0， →→
∴MF1⊥MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．
1
(3)S△F1MF2＝2|F1F2|·|m|＝23×3＝6.
22．(14分)已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，1B两点连线斜率之积为－m2. (1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．
y－0y－0
解析 (1)设S(x，y)，则kSA＝，k＝. x＋mSBx－my21x22
由题意，得2m)． 2＝－2，即2＋y＝1(x≠±mmx－m∵m>1，
∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
x22
(2)当m＝2时，曲线C的方程为2＋y＝1(x≠±2)． 2x－y＋t＝0，??
由?x22
＋y＝1，??2
消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3. ∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点． (3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则
d1＝?a－1?2＋?2a＋3?2＝5a2＋10a＋10， d2＝2－a，
5a2＋10a＋10d1∴d＝＝
2－a2
a2＋2a＋2
5×.
?a－2?2
a2＋2a＋2
令f(a)＝，
?a－2?2?2a＋2??a－2?2－2?a2＋2a＋2??a－2?
则f′(a)＝
?a－2?4＝
－?6a＋8?
.
?a－2?34
令f′(a)＝0，得a＝－3. 4
∵当a<－3时，f′(a)<0； 4
当－30.
4d1∴f(a)在a＝－3时取得最小值，即d取得最小值，
2
?d1?∴?d?min＝?2?2?4?5·f?－3?＝2， ??
2
又椭圆的离心率为2，
d1
∴d的最小值等于椭圆的离心率．
2