12. 【答案】解：（I）由已知可知a?22 设椭圆方程为
入解得b2?2…………………………3分
x2x28?yb22?1，将点P(2,1)代
∴椭圆方程为
8?y22?1………………………4分
12（II）∵直线l平行于OP，且在y轴上的截距为m,又kop??l的方程为：y?12
x?m （m?0） …………………………………6分
1?y?x?m??222由?2?x?2mx?2m?4?0 ① ………………………………7分 2?x?y?1?2?8∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
???（2m)?4(2m?4)?0
22解得 ?2?m?2，且m≠0.
所以m的取值范围是??2,0???0,2?. …………………………………9分 （III）k1+k2?0
设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由①得x1?x2??2m,x1x2?2m?4.…………………10分
2∵k1?y1?1x1?2,k2?y2?1x2?2y2?1x2?2
∴k1?k2?12y1?1x1?2??(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)(x1?2)(x2?2)
(??x1?m?1)(x2?2)?(12x2?m?1)(x1?2)……………………………12分 (x1?2)(x2?2)x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2m?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)2?
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=
2m?4?2m?4m?4m?4(x1?2)(x2?2)22?0 ?k1?k2?0
13. 【答案】（Ⅰ）解：由题意可知，b?1，
ca?32，
解得a?2. …………4分 所以椭圆的方程为
x24?y?1. …………5分
2（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,A1(?2,0)，A2(2,0).设P(x0,y0)，依题意?2?x0?2，
于是直线A1P的方程为y?即DE?(22?2)y0x0?2y0x0?2令x?22，则y?(x?2)，
2(22)?x0?2y0.
. …………7分
y0(22?2)y0x0?2又直线A2P的方程为y?即DF?(22?2)所
DE?DF?(22?2)y0x0?2x0?2(x?2)，令x?22，则y?，
y0x0?2. …………9分
以
?(22?2)y0x0?2?4y022x0?4?4y0224?x02，………11分
2又P(x0,y0)在
x24?y?1上，所以
222x0422?y0?1,即4y0?4?x0，代入上式，
得DE?DF?14. 【答案】
4?x04?x0?1,所以|DE|?|DF|为定值1. …13分
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