令x?1，得n1?(1，?1，?1)．
由（Ⅰ）可知AO?平面SCB，因此取平面SCB的法向量n2?OA?(0，，10).
??????????????????????????????（10分）
设平面ASC与平面SCB的夹角为?，则cos??
|n1n2|3?．
|n1||n2|3???????????????????????????????（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）c?1，设M，N为短轴的两个三等分点，F为焦点， 因为△MNF为正三角形， 所以|OF|?332b， |MN|，即1?223解得b?3，a2?b2?1?4，
x2y2?1． 因此，椭圆方程为?43??????????????????（4分）
（Ⅱ）设直线的方程为y?kx?m(k?0)．
?y?kx?m，①?点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标满足方程组?x2y2
?1，②??3?4将①式代入②式，得3x2?4(kx?m)2?12， 整理得(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0，
此方程有两个不等实根，于是??(8km)2?4(4k2?3)(4m2?12)?0， 整理得4k2?m2?3?0，③ 由根与系数的关系，
可知线段AB的中点坐标(x0，y0)满足x0?x1?x2?4km3m，y0?kx0?m?2， ?224k?34k?3第 11 页 共 14 页
从而线段AB的垂直平分线方程为y?3m1?4km???x???，
4k2?3k?4k2?3??m???km??此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为?2，0?，?0，2?．
?4k?3??4k?3?1?km?m1由题设可得?， 2224k?34k?316(4k2?3)2整理得m?，k?0，
8|k|2(4k2?3)2将上式代入③式得4k??3?0，
8|k|2整理得(4k2?3)(4k2?8|k|?3)?0，k?0， 解得
1?13?3?|k|?，所以k的取值范围是??，??2?22?2?13??，?． ?22???????（12分）
21．（本小题满分12分）
1a(x?1)?a(x?1)(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?1（Ⅰ）解：f?(x)??， ??x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2因为f(x)在(0，??)上为单调增函数， 所以f?(x)≥0在(0，??)上恒成立， 即x2?(2?2a)x?1≥0在(0，??)上恒成立． 当x?(0，??)时，由x2?(2?2a)x?1≥0， 得2a?2≤x?1． x111设g(x)?x?，x?(0，??)，g(x)?x?≥2x?2，
xxx1所以当且仅当x?，即x?1时，g(x)有最小值2，
x所以2a?2≤2，所以a≤2， 所以a的取值范围是(??，2]． （Ⅱ）证明：要证
??????????????????（5分）
m?nm?n， ?lnm?lnn2第 12 页 共 14 页
mm?1?1mnn?， ∵m?n?0，∴ln?0，只需证
m2nlnn?m??m?2??1?2??1?mn?，只需证lnm??n??0． 即证ln??mmnn?1?1nn设h(x)?lnx?2(x?1)， x?1m?1， n由（Ⅰ）知h(x)在(1，??)上是单调增函数，又
?m?2??1?mn?m???0成立， 所以h???h(1)?0，即ln??mn?n??1n所以
m?nm?n． ?lnm?lnn2????????????????????（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】
解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB?DE，DH?HE，
∴DH2?AHBH?2(10?2)?16，
∴DH?4，DE?8．
????????????????????????（5分）
（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，∴PC2?PDPE， ∴(25)2?PD(PD?8)，∴PD?2．
????????????????（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
?x??cos?，解：（Ⅰ）由?
y??sin?，?则圆O1的直角坐标方程为x2?y2?4， 圆O2的直角坐标方程为(x?1)2?(y?1)2?4．
?????????????（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆O1与圆O2的交点所在的直线方程为x?y?1，
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其极坐标方程为?(sin??cos?)?1． ????????????????（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）不等式f(x)?a?1?0，即|x?2|?a?1?0． 当a?1时，不等式的解集是(??，2)当a?1时，不等式的解集为R；
当a?1时，即|x?2|?1?a，即x?2?a?1或x?2?1?a，即x?a?1或x?3?a， 不等式解集为(??，1?a)(3?a，??)．
(2，??)；
???????????????（5分）
（Ⅱ）函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方， 即|x?2|??|x?3|?m对任意实数x恒成立， 即|x?2|?|x?3|?m对任意实数x恒成立．
由于|x?2|?|x?3|≥|(x?2)?(x?3)|?5，当且仅当?3≤x≤2时取等，故只要m?5， 所以m的取值范围是(??，5)．
??????????????????（10分）
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