本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 柱体、锥体、台体、球有关的性质
【知识网络】
1、柱体、锥体、台体、球的有关性质；
2、展开图及内接、外接问题；
3、不规则的图形的有关计算。 【典型例题】
例1：（1）一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ）A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
答案：D。解析：正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。
（2）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 （ ） A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥 答案：D。解析：只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道 （3）在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
答案：。解析：考察在三组对面上的投影即可。
83（4）棱锥的高为16cm,底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底 面的距离为 答案： 11cm
50?h?,?h?5,?h??16?5?11cm。解析：???512?16?2。
（5）把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。 答案：(
R?r(1?63)63?1)r 。解析：四只小球的球心组成正四面体形状，∴2R?2r?263r，即
。
132例2：已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为长的取值范围．
答案：: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1, DA=DC=
132A, 试求第三条侧棱
DCBD, 只有棱DB的长x是可变的． 在三角形
CACD中, M为AC的中点,
B?13??1?23A??．由MF-MB ?2???2???2?2MMD= F七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 得: 32?BD?332. 例3：如图在三棱锥A—BCD中,平面ABC和平面BCD都是边长为2a的等边三角形,且AD?22a,若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N,求最短路线. AMBDN C解析: 有四种侧面展开形式:(1)以等边?ABC为主,剪开AB、BC、CD、AD,得正?ABC和等腰Rt?ACD构成的平面图.此时相对短的路线是线段MN. 延长DC,与过M且与AC平行的直线相交于点P,PM与BC相交于Q点.∵M为AB的中点,∴Q为BC的中点,MQ在Rt?QCP中,?QCP在Rt?ACD中, ?120AC?a,QC?a. 00?90?60?30,CP?32a,PQ?12a. AD?22a,CD?2a,CN?a. 在Rt?MPN中,MP?MQ?QP??3?a,PN?PC?CN??1?a???22??3. 于是MN?MP?PN22?4?3a. (2)以侧面ABD为主,沿BD把两个面ABD和BDC展成一个平面图形.与(1)类似可以推得 MN?4?3a. (3)以侧面ABC为主,沿BC把两个面ABC和BDC展成一个平面图形,构成菱形ABDC, MN∥BD,MN=BD, MN?2a. ∵4?3?4,∴4?3a?2a. (4)以侧面ACD为主,沿AD把两个等腰直角三角形ACD 和ABD展成一个平面图形,构成正方形ABDC,此时MN?2a. 总之,从M到N的最短路线为2a. 例4：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a． （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1； （Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离； （Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论． 答案：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC， 又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1． 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B． ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点， ∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1． 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 （Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC1⊥平面ABC， ∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离． 在Rt△ADC中， AC=2CD=a,AD?32?a. 34a. ∴所求的距离DECD?ADAC?解法二：设点D到平面ACC1的距离为x， ∵体积VC?x?341?ACD1?VD?ACC1 ?1?3a2?CC1?1?1a?CC1?x. 3832a,即点 D到平面ACC1的距离为 34a． （Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下： 证法一：连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B， 又DF? 平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1． 证法二：取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B， ∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B?平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1． 【课内练习】 1．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法正确的是 （ ） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案：C。解析：根据斜二测的定义进行判断。 2．空间四边形中，互相垂直的边最多有 （ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 答案：D。解析：以长方体一个角为例。 3．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 （ ） 15?A． B．10? C．15? D．20? 2答案：C。解析：S?12?2?r?5?15?。 4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 。 答案： 4。解析：AE+CG=BF+DH，∴DH=4。 5．自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则 PA2?PB2?PC2=__ ___。 答案： 4R2。解析：可将PA,PB,PC看成是球内接长方体的三边。 6. 有两个相同的直三棱柱，高为 2a，底面三角形的三边长分别为3a，4a,5a(a>0)，用 它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 。 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 答案：0?a?153。解析：有四种情况：①边长为5a的边重合，表面积为24a2?28； ②边长为4a的边重合，表面积为24a2?32；③边长为3a的边重合，表面积为24a2?36；④两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2?48。∴12a2?48?24a2?28， ∴0?a?153。 7．如图所示，把边长为6?2的正方形剪去图中阴影部分，沿图中的线折成一个正三棱锥，求出此棱锥的底面积，侧面积和高. DFCE B答案：如图⑴所示，∵△DEF是正三角形，又由对称性知，∠FDC=15°，又FD=FC（都是底边），∴△FDC是底角为15°的等腰三角形。 B取DC中心M，连MF，则MF⊥DC， 在Rt△FDM中， DF?DMcos15?DFC?6?2cos152??2， EBEOD∴底面积为： S?DEF?12DF?DE?sin?FDE?12?2?2?32?3。 ⑴ ⑵ F∵∠FCD=15°，∠FCB=75°，取FC中点N，连结BN，则BN⊥FC。在Rt△BNC中， BC?6?122，∠BCN=75°，∴BN3)?6?33?BC?sin75??(6?2)?6?42?2?3。 ∴S侧=3??2(2?。 如图⑵所示，过B作BO⊥面EFD于O，则O是△EFD的中心，连EO，在Rt△EOB中， BE?6?2,EO?23?32?EF?33?2?233。 23∴BO?BE2?EO2??6?2?2?23???3?????2?15?93。 8．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD于 A，PC⊥平面AEFG，且分别交PB、PC、PD于E、F、G， （1），求证：面PAB⊥面PAD； （2）求证：A、E、F、G四点共圆。 答案：（1），∵AD⊥AB，AD⊥PA，且PA?AB=A，∴AD⊥面PAB， 又AD?面PAD，∴面PAB⊥面PAD， （2）易知CD⊥面PAD， ∴AG⊥CD， 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 又已知PC⊥面AEFG，∴AG⊥PC，且CD ?PC=C ， ∴AG⊥面PCD，又FG ?面PCD，∴AG⊥FG， 即∠AGF=900，同理∠AEF=900，四边形AEFG对角线互补， ∴四边形AEFG内接于圆，即A、E、F、G四点共圆。 9．如图，在三棱锥S—ABC中，SA?平面ABC，AB?AC?1，SA?2，D为BC的中点． （1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥S—ABC的体积为 36，且?BAC为 钝角，求二面角S—BC—A的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离． 答案：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的 中点矛盾，所以AD与SB不垂直； （2）设?BAC??，则V?解得 sin???SA?13?12?1?2?sin??236 32，所以??600（舍），??1200． 平面ABC，AB=AC，D为BC的中点 AD?BC,SD?BC， SAAD则?SDA是二面角S—BC—A的平面角． 在Rt?SDA中，tan?SDA??4, 故二面角的正切值为４、 （3）由（2）知，BC?平面SDA，所以平面SBC?平面SDA，过点A作AE?SD，则AE?平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE, 从而AE?ADsin?SDA?10．已知三视图： 2171721717即A到平面SBC的距离为． 正视图112侧视图俯视图222（1）画出该几何体的直观图； （2）求该几何体的表面积． 答案：解：（1） 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载