zPD'A'DAO'QOyC'B'CxB
（2）由题意可知，该几何体是由正四棱柱ABCD?A'B'C'D'与正四棱锥
P?A'B'C'D'构成的简单几何体．
由图易得：
PQ?P'O?2AB?2AD?2,A'?A1,P?O'，取A'B'中点
Q，连接
PQ，从而
'OQ?12?12?，所以该几何体表面积 2AB?AD?42?12.S?12?A'B'?B'C'?C'D'?D'A'?PQ??A'B'?B'C'?C'D'?D'A'?AA'?A组
【作业本】
1．下列命题中错误的是 （ ） A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面是圆 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
答案：B。解析：只有当顶角为90°时，面积才为最大。
2、设M为正四面体ABCD高线AH上一点，连结MB，MC，若∠BMC=90°，则
AMMH
的值为 （ ）
A、
5?12 B、5?12 C、2 D、1
2
2
2
2
答案：D。解析：设四面体的棱长为a，MH=x，则MC=MB=MH+BH=x2在Rt△BMC中，由MB2+MC2=BC2得2(x2即
AMMH?1。
?13a)?a22?13a2， AH，
，解得x?66a，∴AM=MH=
123．如果球的内接正方体的表面积为24，那么球的体积等于 （ ） A．43? B．23? C．323? D．
82?3
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答案：A。解析：6a2?24,?a?2,?2R?23，即R?3,?V?433?R?43?。
4．四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。
答案：（0，
62?
?6?x2?。解析： f(x)?3?x，利用不等式或导数即可判断。，3??42??5．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形
是 。
答案：圆外切四边形。解析：P在α内的射影到各边的距离相等。 6．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱， （1）求圆柱的侧面积；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？
答案：解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图： 因为
rR?H?xH，所以r?R?R从而S圆柱侧面?2?rx?2?Rx?（2）因为?2?RHH2?RHx， x．
2Hrx?H22?R4?RH?0，所以当x??b2a?时，S侧最大，
R从而当x?H2即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
7．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
答案：解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm. 在Rt?EOF中, EF?5cm,OF?1412xcm,
105xADOBCFE 所以EO?25?x, 于是V?213x225?14x
2依题意函数的定义域为{x|0?x?10}
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8. 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形（如图），再将四 边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t。
（1）把铁盒的容积V表示成x的函数，并指出其定义域； （2）x值何值时，容积V有最大值？
答案：（1）V=(2a-2x)2x=4x(a-x)2,由
（2）由 V ? x ( a ? a ? x ) ? 2 ? ( ) 3 ? a 3，等号成立的条件是2x=a-x,即x2 ? 2x )(3272a16?a3x2a?2x?t得0?x?2at1?2t
①当 ?3a2at1?2t即t?14时，x可取得a3,此时Vmax?1627a；
3
2ata1②当 ? 即 t ? 时，上式中等号不成立，此时，取V=4x(a-x)2,
2at2at0 , ]上是增函数，∴当 x ? 时，V有最大值。 在 (
1?2t1?2t1?2t34
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B组
1、下列三个命题，其中正确的有 （ ） （1）、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 （2）、两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 （3）、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：A。解析：A中截面是否平行于底面不确定，B、C中没有侧棱交于同一点这一条件。
2．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S，则这个多边形的面积是 （ ）
A．
2S B．2S C．22S D．4S
答案：C。解析：取特殊例子进行分析。
3．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 （ ） A、
11121412116 B、 C、 D、以上都有可能
答案：D。解析：分别为下列三种情况：有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共有四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边全为2。显然只有最后一种是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只有两种可能情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2。
4．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
答案：
270545。解析：设三边长为x,2x,y，则5x245?y?42，
令x?cos?,y?2sin?,?3x?y?3cos??2sin??2570。
5．在底面边长为6㎝、高为14㎝的正三棱柱内放入相同的n个球，使球半径尽量大，则n＝ 。
答案：4。解析：r?3,?1423?4。
6．如图，正三棱锥S?ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求SDE绕SE旋转一周所得旋转体的体积．
答案：解：如图，连接AE，由题意得SE?AE，又D是SA的中点，所以DE?SA，又SE?SB?BE22SDAB2CE?32a,DE?SE?SD2?22a．
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作DF?SE，垂足为F，则DF?SE?DE?SD，所以
aDF?DE?SDSE?2?2232a?a66a，则所求旋转体的体积：
SDAFCEBV?113?????1a??SF???3?6?622?6?A??EF??6???2?6????a??SE??3?6??336
?a.3
7．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面BEFG所截而得到的。其中AB=4，BC=1，AE=3，DF=4。
⑴求异面直线EF与BC所成的角；
⑵求截面与底面所成二面角的正切值；
F E D G C A B
答案：（1）过E作EH//AD交DF于H点，?BC//AD，?EH//AD，又EH=BC=1=FH，
??FEH?45，即EF与BC所成的角为45。
（2）由已知得EFGB为平行四边形，?BG?2,GC?1，延长FG、DC相交于N，连结BN。过C作CM?BN于M，连结GM，则?GMC为所求二面角的平面角。
1CN14?GC//DF,??,?CN?
4CN?44300F H
G E
D C M B
N 11S?BC?CN??BN?CM 在?BCN中，?BCN22?CM?,?tan?GMC?? 4455415A 8．如图所示，已知BB1，CC1是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60°，且BB1//CC1，线段BB1的端点B1在平面ABC上的射影M恰是BC的中点，已知BC=2cm，∠ACB=90°.
⑴求异面直线AB1与BC1所成的角；
⑵若二面角A—B1B—C为30°，求三棱锥C1—ABC的体积； （3）求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正切值.
B1C1A CBM答案：⑴∵B1M⊥平面ABC，∴B1M⊥AC。又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C。∴AC⊥BC1，∠
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B1BM为BB1与平面ABC所成的角∠B1BM=60°，BM=1，∴B1B=2，四边形B1BCC1为菱形，∴B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面B1CA。∴BC1⊥AB1，即异面直线AB1与BC1所成的角为90°。
⑵取BB1的中点D，连结CD，则CD⊥BB1，
∵AC⊥平面BCC1B1，连结AD，由三垂线定理知AD⊥BB1，∴∠ADC即为二面角A—BB1—C的平面角。∴∠ADC=30°，在Rt△ACD中，CD=BC·sin60°=3，∴AC=1，
13?3?3??AC???2?2??1??2?323??11∴V33C1?ABC?VA?ABC?1S?BCC，故三棱锥C1—ABC的体积
1为
cm3。
⑶∵AC⊥平面BCC1B1，∴∠AB1C即为直线AB1与平面BCC1B1所成的角。 在Rt△ABC中，tan?AB1C?
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ACB1C?12，∴AB1与平面BCC1B1所成角的正切值为。
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