2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期中考试试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知集合 ， ，则
A. A.
B. B.
C. C.
D. D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 、 3. 对于向量 、 和实数 ，下列命题中真命题是
，则 A. 若 或 B. 若 ，则 或 ，则 或 C. 若 D. 若 ，则
4. 已知数列 满足 ，则
A.
B.
C. D.
5. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为
A. C. A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. D.
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设 ，则“ 是第一象限角”是“ ”的
7. 设 ，则下列说法不正确的是
A. 为 上的偶函数 B. 为 的一个周期 C. 为 的一个极小值点 D. 在区间 上单调递减 8. 已知非空集合 ， 满足以下两个条件： （ⅰ） ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，则有序集合对 的个数为
A. B.
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 定积分 的值等于 ．
C. D.
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10. 设在海拔 （单位： ）处的大气压强为 （单位： ）， 与 的函数关系可近似表示为
，已知在海拔 处的大气压强为 ，则根据函数关系式，在海拔
处的大气压强为 ． 11. 能够说明“设 是实数．若 ，则
； ①
，则 ． ②若
”是假命题的一个实数 的值为 ．
12. 已知 为边长为 的正三角形， ， 分别为边 ， 的中点，则
13. 已知函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示，则 ，
．
14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，其中 ．
① ；
②若 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知 ， ，且函数 ．
（1）设方程 在 内有两个零点 ， ，求 的值；
（2）若把函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得函数 图象，
求函数 在 上的单调增区间．
16. 已知数列 是等比数列，满足 ， ，数列 满足 ，且数列
是公差为 的等差数列．
（1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和．
17. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的最小值．（其中 是自然对数的底数）． 18. 如图，在四边形 中， ，且 为正三角形．
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（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 和 的长．
19. 已知函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）求证： 是 的唯一极小值点；
（3）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．（只需写出结论） 20. 若在数列 ： ， ， ， 中， 且对任意的 ，
恒成立，则称数列 为“ 数列”．
（1）若数列 ， ， ， 为“ 数列”，写出所有可能的 ， ；
（2）若在“ 数列” ： ， ， ， 中， ， ，求 的最大值；
（3）设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ： ， ， ， ，记
，其中 表示 ， ， ， ，这 个数中最大的数，求 的最小值．
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答案
第一部分 1. C
【解析】因为 ， ，
，则当它们都是非零向量时 夹角为 ； 3. B 【解析】提示：对于选项A，若 、
所以 或 ． 2. A
选项B正确；
，则 对于选项C，若 ；
对于选项D，若 ，则 ． 4. D
6. C 9. 10. 11. 12. ，
5. B 7. D 8. A
第二部分
13. ，
14. ， 第三部分
15. （1）
，
而 ，得：
而 ，得： 或
所以 ．
（2） 把函数 的图象向左平移 个单位可得
的图象，再向上移 个单位可得 则 的单调递增区间： 则
的图象，
，
， ，
而 ，得： 在 16. （1） 设数列 的公比为 ，
则
和 上递增．
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解得 ， ， 所以， ，
令 ，则 ， 则 ，即
（2）
．
17. （1） 由 的定义域为 得
，
当 时，得
，则
，
此时， ， ．
故曲线 在点 处的切线方程为 ． （2） 令 得， 或 ， ①当 时，对任意的 ， 因为 ，
所以 在 上单调递增， 则 最小 ， ②当 时，
极小值
则 最小 ， ③当 时，对任意的 ， 因为 ，
所以 在 上单调递减， 则 最小 ，
综上所述，由①，②，③可知， 在区间 上的最小值，
．
18. （1） 因为
， ， 所以
， 所以
（2） 设 ， ，
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