1问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2 模型假设
1. 假设浮子是一个质点，不考虑浮子的大小； 2. 假设油量计测出的油量是绝对准确的；
3. 假设储油罐是完全密闭的，其中的油不会渗透，蒸发以及以其他形式流失； 4. 假设储油罐是理想几何体，且不考虑其厚度
3符号说明
1
符号
S
含义 储油罐横截面面积
油位高度 纵向倾斜角度 横向倾斜角度 储油体积 储油罐三个区段 储油罐罐身纵向长度 截面椭圆半长轴长 截面椭圆半短轴长
罐身边缘距油浮子水平距离（较近端）
截面圆半径
消除纵向倾斜影响后的油位高度
出油量
h
?
?
V
fi(i?1,2,3)
l
a
b d
R
h'
Ui(i?1,2,?n)
4问题一：椭球型储油罐变位的罐容表分析
4.1问题分析
首先，应该得出没有变位时，椭圆型储油罐中油面高度与油量的关系，若储油罐发生倾斜，油浮子测的距离不再是液面距储油罐低端的距离，因此需要建立空间坐标系，分析变位后的储油罐中测量，仍然按照无变位的情况计算储油量必然是不准确的，但是影响有多大。 4.2模型的建立
首先研究储油罐无变位情况下的储油量随测量油位高度的函数关系，然后研究储油罐在倾斜角??4.1?的纵向变位情况下储油量随油位计测量的油位高度的函数关系，最后进行综合比较建立最终的数学模型。
2
4.2.1模型一：储油罐无变位
如下图所示，储油罐水平卧立，油浮子测得油液面高度为h。
图1 正常情况下椭球住体储油罐及其油面图
根据h的值计算储油体积V，计算椭球柱体的面积，其体积为V?Sl，其中
S为截面面积，l为储油罐纵向长度。以横向截面建立平面直角坐标系如图：
图2 椭球柱体斜面积分示意图
椭圆满足的曲线方程为：
x2y2??1a2b2
截面面积为：
S??h?b?bdS?2a?h?b?by21?2dyb
S是一个与h有关的函数，记为S(h)。即：
??h?2h?h?2h????S(h)?ab???1?????arcsin??1?????b?b?b??b?2???
为了计算方便，简化运算，以
h为自变量，得到下式： b3
2h?2h?h?h????h????F??????1?????arcsin??1???b?b?b??b???b?2????则储油体积计算公式如下：
?h?V?h??ablF???b?
其中a?0.89m,b?0.6m,l?2.45m
?4.2.2模型二：储油罐有倾角为??4.1的纵向变位
此时储油体积形状不再是一个椭球柱体，各个横截面面积都不相等，油浮子测量的高度也会发生偏差，是如图中的hi。此时罐油表是按照储油罐没有倾斜时，算出的，储油量会发生偏差，下面计算储油罐倾斜后罐油表。
经过分析，因为倾斜后储油罐中油的积截面不同，所以应进行分段考虑，示意图如下所示：
图3 倾斜储油罐的分段图
由图3可知，当液面分别位于f1，f2，f3段内时，几何体形状不同，会导致函数关系不同，应该分开进行考虑，可以写出体积V的分段表达式如下：
?f1(h)?V(h)??f2(h)?f(h)?3hmin?h?h2h2?h?h1 h1?h?hmax其中hmin表示油浮子能够测量到的最低高度（以整个储油罐相对于水平面的最低点高度为0），h1,h2如图3所示。 xam为倾斜储油罐的最高点，h4
为了确定h1和h2。根据几何关系求得：
h1?2b?dtan??1.1713(m) h2?(l?d)tan??0.1469(m)
? 三段函数的计算：
1.f1段内的函数关系:
在油罐上建立空间直角坐标系，进行积分运算。以椭球柱体的中心轴线所在直线为y轴，油浮子所在直线与轴线交点为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示：
图4 油量在
f1段内倾斜储油罐的坐标图
首先计算截面面积S随y的函数关系S(y)，截面是椭圆的一部分，算的S为：
S(y)??从而得到总体积：
h(y)?b2xdz?2a?h(y)?bz21?2dz bV??h/tan??ddV2??dy?h/tan??d?h(y)z2?1?2dz?dy?2a??b??b??
?2a?h/tan?h(y)?d?bz21?2dzb油面满足的直线方程为：
h(y)??ytan??h?b求的结果如下：
b?ab2?13?V(h)?l??M?M?NarcsinN1111? ???2?tan??tan??3??ab?5