图10 椭球
上图是横向偏转的正截面图，在横向偏转了?角之后，因为油位探针的位置不变，所以油面到储油罐低端的距离不变，由平面几何的知识得到，没有横向偏转了?角时的油浮子高度h与纵向偏转了之后的高度h?的关系：
cos??AOh?r ??BOh?rh?(h??r)cos??r
得出的油面高度与横向偏转之间的关系之后，下面来研究油面高度与纵向偏
转之间的关系，如图，我们把储油罐分成三个部分：两端的球冠以及中间的圆柱体，分别对这三个部分用积分的方法计算其体积。
? 准备二：横向偏转角?对测量高度h?的相影响不受纵向偏角?的影响
首先建立两个坐标系： 1. 世界坐标系：
世界坐标系是描述物体空间位置的一个基准坐标系，记为O(x,y,z)，在储油罐没有倾斜的情况下，x轴穿过储油罐中圆柱体的柱心。
2. 倾斜后储油罐的坐标系：
在地基变化后，储油罐发生了横向偏转和纵向偏转，这时，建立一个以储油罐心中圆柱体的柱心所在的直线为x轴，以油位探针所在的直线为y轴的坐标系，记为O(x??,y??,z??)
设储油罐的纵向偏差角为?，横向偏差角为?
在这里，根据实际情况，假设储油罐在围绕纵向偏差角旋转后，坐标系为
O(x?,y?,z?)，而此时再发生横向偏转，是围绕坐标系O(x?,y?,z?)发生的，偏转后
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的坐标系为O(x??,y??,z??)
在坐标系O(x?,y?,z?)中，无论纵向偏差角为多少，油面到储油罐低端的距离不变，所以横向偏转角?对测量高度h?的相影响不受纵向偏角?的影响
5.2.2油体积的精确理论计算,得出一般关系
在这里，以储油罐中油位探针的中点为原点O，油位探针所在直线为y轴，储油罐中的圆柱体部分的柱心为x轴，建立空间直角坐标系，如图：
图11 一般的储油罐解析关系及分段图
其中V1的体积如下：
V1????dxdydz?
112132?22(x?)?y?z?()?88??:??3?x??2?3?y??tan??x?(h?)?2
对V1的体积进行积分运算：
V1??dx??3?23?tan?x?(h?)2??dy?1.6252?(x?1.375)2?y2?1.6252?(x?1.375)2?y2dz322?2?13211232?()?(x?)?(tan?x?(h?))?dx3??3?882??对V2进行计算：
??12
解得：
V3????dxdydz
??V2??27?13243232?()?(x?)?[xtan??(h?)]?dx ??63?882?32对V2进行计算：
解得：
V3??dx??163xtan??(h?)1.52?x22???1.52?x2V3????dxdydz??? ?dz
综上:
V?V1?V2?V3???2?2?13211232?()?(x?)?(tan?x?(h?))?dx???3382??827?13243232?()?(x?)?[xtan??(h?)]?dx??63?882?6?13xtan??(h?)1.52?x22???1.52?x23232??dx??dz
把h?(h??r)cos??r带入V，得到的V(?,?,h)就可以的准确的罐油表与?,?的一般关系。
可以看出，上述的一般关系是一个复杂的积分关系，用Maple软件计算此积分，得到一个十分繁杂的函数关系，所以，得出解析解事不现实的，要对这个积分关系式进行简化.
5.2.3体积的近似计算 方法1、
油罐两端储油体积
? 该几何体是一个球冠被一个平面割之后的几何体，由于球冠高度较低，
可以用近似处理方法，认为是球冠被水平切割，这样不会引起太大的误差。 ? 由题目所给的数据得知，?h均为毫米数量级的数据，而球冠的半径r为
米数量级，两者相差1000倍，因此可认为?h所对应的狐的弧度基本为0，近似看做是直线。
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图12 近似计算处理示意图
因此通过两步近似后，所积图形可认为是扁圆柱形的一部分，因此不需积分而通过简单的几何计算，即可得到此半圆饼的体积为：
??r?22?r?b?2V1????x1arcsin???x1?1??h
??b??rb????其中:x12?b2?(?2tan??h?b)2 同理：
??r?22?r?b?V2????x2arcsin???x22?1??h
??b?b??r???其中:x22?b2?(?2tan??h?b)2
油罐身储油体积可以利用第一问的结论，只需在其结果中令a?b?R既可以得到罐身储油体积的表达式，得到结果如下：
R3?1313?V身(h',?)?Rl?M?M?NarcsinN?NarcsinN?M?M12221121??2tan??33?
?2其中总体积V?V身?V1?V2，同时将由?倾角造成的对h的影响加入模型
h?(h??r)cos??r
其总表达式为：
??r?22?r?b?V????x1arcsin???x12?1??h??b?b??r?????r?22?r??b?2 ????x2arcsin???x2?1??h?R2l??b??b?2?r??R3?1313??M?M?NarcsinN?NarcsinN?M?M12221121??tan??33?方法2、 油罐两端储油体积
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该几何体是一个球冠被一个平面割之后的几何体，由于球冠高度较低，可以用近似处理方法，认为是球冠被水平切割，不会引起太大的误差。首先以球冠底大圆圆心为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
图13 储油罐中球冠解析图
首先求球冠所在球面的方程，设球的半径是r，易知球心坐标为?0,0,F?r?，可以写出球面方程如下：
x2?y2?(z?r?F)2?r2
根据勾股定理可以确定r，由勾股定理得到：R2?(r?F)2?r2，解得：
R2?F2r??1.625
2F根据球面方程解出来z为：
z?r2?x2?y2?r?F（取上半部分）
根据积分的知识可以知道，端部分的体积为：（以任一端为例）
V端1???zdxdy???DD?r2?x2?y2?r?Fdxdy
?其中
D:x2?y2?R2 y?R?h(h为液面高度)
将上述二重积分化为累次积分得到：
V端(h)????RRR?hR2?y2dy?2?R2?y22?r2?x2?y2?r?FdxR2?y2r2?y2?R?h?r?y?arcsin?R?h?dy?22R2?h??R2Rh?h?arcsin?1???24?R?2
上式结果中的积分无法求出解析解，所以以变限积分形式保留在结果中。
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