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将已知条件代入上式解得②当角速度
继续增大时
将已知条件代入上式解得所以当
满足
本题所给条件
时，AC、BC两绳始终张紧。
，此时两绳拉力
、
都存在。
减小，
增大。设角速度达到
时，
（这又是一个临界状态），则有
将数据代入上面两式解得，
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。 如果
时，
。
，则AC与轴的夹角小于
如果，，则BC与轴的夹角大于45°。
例题2.如下图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
解析：两绳张紧时，小球受的力如上图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝F1sin30°＝mω12Lsin30° ① Fy＝F1cos30°－mg＝0 ② 代入已知解①②得，ω1＝2.40 rad/s.
(2) AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝F2sin45°＝mω22Lsin30° ③ Fy＝F2cos45°－mg＝0 ④ 代入已知解③④得ω2＝3.16 rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.
两绳系一个m?0.1kg的小球，两绳另两端分别固定于轴上AB两处，上面绳长
l?2m，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是300,450,问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度为3rads时，上下两绳的拉力分别为多少？
（解析：半径不变时，临界条件是BC刚好拉直，张力为零，AC上的张力的分力提供向心力，?最小；AC刚好拉直，张力为零，BC上的张力的分力提供向心力，?最大。）
练习1：如图所示，OO/为竖直转轴，MN为固定在OO’上的水平光滑杆。有两个质量相同的有孔金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO/上。当线拉直时，A、B两球到转轴距离之比为2∶1，当转轴角速度逐渐增大时（ A ）
A．AC线先断
O/ B A B．BC线先断 MN
C．两线同时断 C D．不能确定哪段先断 答案：A O
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练习2：有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如图6-25）.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？
图6-25
[解析] 该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：
解法一 （守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有
2v0(m1?m2)g?M ○1
R
当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有
v2m1g?M ○2
R?h再选小球M、物体m1与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m1到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：
112Mv0?m1gH?Mv2?m1g(H?h) ○3 22以上○1○2○3三式联立解得：v?(3m1?m2)gR.
3M解法二 （转化观点）与解法一相同，首先列出○1○2两式，然后再选小球、物体m1与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m1上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量.即：
112Mv0?Mv2?m1gh ○4 221○2○4式联立解得：v?○
(3m1?m2)gR.
3M[评价] 比较上述两种解法可以看出，根据机械能守恒定律应用守恒观点列方程时，需要选零势面和找出物体与零势面的高度差，比较麻烦；如果应用转化观点列方程，则无需选零势面，往往显得简捷. 注：角速度不同，绳子与转轴的夹角不同。 （2） 弹力：
例题 :如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定的角速度ω绕竖直OO'转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k的弹簧连接，弹簧原长为l0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。
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分析和解答：当两球绕轴OO'做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l、L表示A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：
对A球有：m?l?k(l?l0)?k(L?l0) 对B球有：m?(l?L)?k(L?l0) 由①、②联解得
?2① ②
l?l03m?2m?221??()kk
练习： 有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图6－156所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时弹簧未发生形变，长度为R。求：
ω ⑴ 盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
A ⑵ 当转速缓慢增大到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？ 解析：
m?2(1?)l0kL?3m?2m?221??()kk
?mg?mR?2
O ?? ∴n0??gRR
图6－156
?1?g?? 2?2?R有一水平放置的圆盘，上面放一根劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体A，
物体A与盘面间最大静摩擦力为fm，弹簧原长为R0，如图5所示，求：①盘的转速n0达到多大时，A开始相对于盘滑动？②当转速达到2n0时，弹簧的伸长量△x是多少？（未离开盘面） 答案：
注：T?k△L
v2 ?k(L?l0) F向?m
L(3)支持力（压力）：
例题 :一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角??30，如图所示，一条长为L的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（视作质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（小球和绳在图中都未画出） （1）当?? （2）当???1gl时，求绳子对小球的拉力； 63gl时，求绳子对小球的拉力。 2
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一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图1－15所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，求（1）当V＝
图 1 － 15
13（2）当V＝gL时绳对物体的拉力；gL时绳对物体的拉力。
62解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图1－15，物体受重力mg、锥面的支
持力N、绳的拉力T三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向分解，由牛顿第二定律得：
V2Tsinθ－Ncosθ＝m ① Tcosθ－Nsinθ＝mg ② 由①②两式得：
Lsin?V2cos?N＝mgsinθ－m 可见，θ一定，V越大，N越小，当V增大到某值V0时，N＝0时，即V0＝
Lsin?因N为支持力，不能为负值，故当V>V0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值α。
3gL 61V2gL时V L61.03mg (2) 当V＝ 3gL时,V>V0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg和拉力T作用，设绳与轴线的夹角为α: Tsin2mV2α＝ ③ Tcosα＝mg ④ Lsin?2 22 将V代入③④两式消去α可得 2T－3mgT－mgT＝0 解取合理值 T＝2mg 【评注】 本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题，故要用临界分析法来解题。临界分析法，就是找出问题的临界条件，算出关键物理量的值进行分析比较，得出在不同条件下物体不同的状态，从而求出结果。本题关键在求出N＝0时的速度值即临界条件。 练习：如图6－139所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度ω做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？ m r O 解析:电动机受力平衡,当铁块在最低点A时向心加速度竖直向上铁块超重最多,则系统对地面的压力最大(设系统重力为G)FA=G+mR,同理当铁块在最高点时B,向心加速度竖 图6－139 直向下铁块失重最多,则系统对地面压力最小 FB=G- mR则FAB=FA-FB=2mR 如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，铁块将以角速度做半径为r的匀速圆周运动，则在转动过程中，铁块分别在最高点时和最低点时电动机对地面的压力差是多大？ 解析：铁块在最高点时 此时电动机 ①（2分） ②（1分） Shanglaoshi100@163.com 联立①②得铁块在最低点时此时电动机联立④⑤得 ③（1分） ④（2分） ⑤（1分） ⑥（1分） （4）摩擦力： 例题 :如图所示的水平转台上M=2.0Kg的木块放在离转台中心0.4米处，与转台间动摩擦因数μ=0.15，m用线穿过光滑小孔与M相连,m=0.5kg,要保持M与转台相对静止,转台的最大转速不能超过多大?最小转速不能小于多少? （??3.14 ?2?10） 解析：?1（最小值）有向心运动趋势，f向外， ?2（最大值）有向心运动趋势，f向内。 T?mg?0.5?10?5N f??Mg?0.15?2?10?3N T?f?M?12r?M?(2n1?)2r T?f?M?2r?M?(2n2?)r ∴nmax?0.5r nmin?0.25r 22ss例1 如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？ 【分析与解答】：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小为： 运动中，小球受到竖直向下的重力G，竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F，如图所示，这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心 力，由于其中重力G和支持力N为一对平衡力，因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向 心力，为此绳对小球需施拉力的大小为 N． 练习：（教材变式题）Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为?，Ａ的质量为2m， Ｂ、Ｃ质量均为m，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动， 2m m m Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，如图所示）（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小； ?C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动； D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。 解析：比较哪个物体最先打滑，即比较哪个物体角速度最小。 A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R，当圆台转动时，或A、B、C均没滑动，则：（ ） A、C物体的向心加速度最大 B、B物体所受摩擦力最小 C、若圆台转速增大时，C比B先滑动 D、当圆台转速增大时，B比A先滑动 答案：A B C Ａ Ｂ Ｃ