二、 圆周运动与直线运动、平抛运动的综合运用 1， 碰钉问题：
例题:如图所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上．开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是 A、0.9?s B、1.8?s C、1.6?s D、0.8?s
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解析：①小球绕A以1m为半径转半圈，
v222T1?m?0.4??1.6N?4N
r11②小球绕B以1?0.4?0.6m为半径转半圈，
v222T2?m?0.4??2.67N?4N
r20.6③小球绕A以06?0.4?0.2m为半径转半圈，
v222T3?m?0.4??8N?4N ∴绳断
r20.2s?r??1t1?1?1??0.5?
vv2s?r??0.6t2?2?2??0.3?
vv2∴t?t1?t2?0.5??0.3??0.8?
如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？
v24m?Fm0.4??4rr?0.4m r0解析： 设小球恰好断开时，运动半径为0，r0 011T1?T2?t2小球绕第三个半周时半径为0.2m?r，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为2
2?R12??12?R22??0.6T1?T2??????0.6?22vv
1t?(T1?T2)?0.8?(s) 2练习：如图所示，一小球质量为m，用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方
向拉直后无初速度地释放小球，当悬线碰到钉子的瞬时（ A B D ） A.小球的向心加速度突然增大， B.小球的角速度突然增大 C.小球的速度突然增大 D.悬线的张力突然增大 答案：A B D 2， 子弹问题：
例题:如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（）
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A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条与S缝平行的窄条上
B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上
C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上 D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒
解：微粒从M到N运动时间t=R/v,对应N筒转过角度θ=ωt=ωR/v, 即θ1=ωt=ωR/v1, θ2=ωt=ωR/v2, 只要θ1、θ
则落在两处，C项正确；若相差2π的整数倍，则落在一处，可能是a处，也可能是b处。A,B2不是相差2π的整数倍，
正确。故正确选项为ABC.
3， 圆筒（柱）问题：
例题:（小综合）如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0．5kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动．当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s
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的速度落在墙角边．求这个圆柱形房屋的高度H和半径R．(g取10m/s)
H
R
如图4—2—5所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墙边.求这个圆柱形房屋的高度H和半径R.（g取10 m/s2）?
图4—2—5
解析：
设绳与竖直方向夹角为θ，则cosθ=
mg1?,所以θ=60°， T2
①? ②?
③?
④?
小球在绳断时离地高度为：h=H-Lcosθ
小球做匀速圆周运动的半径为：r=Lsinθ
vF向=m0mgtanθ
r12L1mv=mg(H-)?mv02 2222
联立①②③④式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t=
222h=0.6 s,水平距离为：s=v0t=16.2m, g圆柱半径为：R=s?r=4.8 m. 练习1：
据报道:我国航天员在俄国训练时曾经“在1.5万米高空,连续飞了10个抛物线.俄方的一个助理教练半途就吐得一塌糊涂,我们的小伙子是第一次做这种实际飞行实验,但一路却神情自若,失重时都纷纷飘起来,还不断做着穿、脱宇航服等操作.”设飞机的运动轨迹是如图所示的一个抛物线接着一段120度的圆弧再接着一个抛物线,飞机的最大速度是900km/h,在圆弧段飞机速率保持不变;被训航天员所能承受的最大示重是8g.求:(1)在这十个连续的动作中被训航天员处于完全失重状态的时间是多少?(2)圆弧的最小半径是多少?(实际上由于飞机在这期间有所调整和休息,所花总时间远大于这个时间,约是一小时)(3)完成这些动作的总时间至少是多少?(4)期间飞机的水平位移是多少?(提示:抛物线部
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分左右对称,上升阶段和下降阶段时间相等,水平位移相等,加速度相同,飞机在抛物线的顶端时速度在水平方向)(取g=9.75m/s2)
︶ 1200 起点 终点
解：（1）在飞机沿着抛物线运动时被训人员处于完全失重状态，加速度为g 抛物线的后一半是平抛运动
在抛物线的末端飞机速度最大，为 v=250m/s 竖直方向的分量 vy=250cos300=216.5m/s 水平方向的分量 vx=250sin300=125m/s 平抛运动的时间 t=vy/g=22.2s 水平方向的位移是 s=vxt=2775m
被训航天员处于完全失重状态的总时间是 t总=10×2t=444s
（2）T－mg=mv2/r 由题意得T=8mg,r=v2/7g=915.7m （3）每飞过一个1200的圆弧所用时间
t/=(2πr/v)/3=7.67s, t总/=10t/+t总=76.7+444=520.7s （4）s总=20s+10×2rsin600=55500+15859=71359m 巩固练习
1，（郑州奥林匹克物理竞赛）如图4-22所示,长为2L的轻绳,两端分别固定在一根竖直棒上相距为L的A、B两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则此时轻绳上的张力大小为 ；竖直棒转动的角速度为 。
8g5答案: 4mg; 3L
解析：设小圆环做圆周运动的半径为r，则由如图4-22所示可知：
A L2?r2?(2L?r)2 ∴r?∴cos??3L 40 ABL??0.8 OA2L?rFA?FB 由于小球在水平内做匀速圆周运动 FAcos??mg
2图
FAsin??FB?mr?
∴FA?8g5mg ?? 43L2，在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R， 如图所示，为了使电动机不
从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ B ）
A． ,B． C． D． 答案: B
3， (2006上海)如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在 一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有 一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止， 质点处在水平轴O的正下方位置．现以水平恒力F拉细绳， 使两圆盘转动，若恒力 F=mg，两圆盘转过的角度θ= 时，质
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点m的速度最大．若圆盘转过的最大角度θ=π/3，则此时恒力F= 。 答案:
?3mg, 6??6；在第二中，外力F做的功增大了物体的机械能，力F作用点的位移为
解析：质点m速度最大时，拉力F和重力mg对转动轴O的力矩是平衡的，故满足：
Fr?mg?2rsin? 而F?mg ，即??s?r?? ，所以满足：Fr?解得：F??3?mg?2r(1?cos?3) ，
3mg?
变式：如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a ，角速度为?1的匀速圆周运动，若绳迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动，求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度？
b2?a2a2?1答案： ，2
?1ab（开放题）如图所示，吊臂钳子夹着一块m?50kg的砖块，它们接触处的动摩擦因数为??0.4，绳索悬点到砖块重心的距离L?4m，在下列两种情况下，为使砖块不滑出，钳口对砖块的压力至少多大（g取10m（1） 臂使砖块以4m的速度匀速向右运动。
s2）？
s（2）吊臂突然停止运动。
解析：（1）mg?2f?2?FN ∴Fn?mg?625N 2?v2?mg （2）2f?mg?2f?2?FN?mL∴FN?875N
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