教 学 设 计
月 日 课题 教 学目 标 线段的垂直平分线 课时 2 课型 新授 知识技能： 1、能够运用公理所学过的定理证明线段垂直平分线的性质和判定定理． 2、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 过程方法： 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 情感与价值观： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 3．已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 教学难点 1、写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题． 2、证明三线共点． 教学方法 探索——交流——合作法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 多媒体演示 § 1．3．1 线段的垂直平分线(一) 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线． §1．3．2 线段的垂直平分线(二) 定理： 证明
教 学 过 程 （包括导引新课、依表导学、异步训练、达标测试、作业设计等） 第一课时： Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用． [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上。 Ⅱ．讲述新课 [师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它，现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程，遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示． [生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢． [师]谁有办法来解决此问题呢？ [生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表． [师]我觉得这位同学的做法很好，我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质． 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足是C，且 AC＝BC，P是MN上的点． 求证：PA＝PB． 分析：要想证明 PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌PCB(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 教师用多媒体完整演示证明过程，同时，用多媒体呈现：
想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? [生]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 学生讨论多种证明方法。 做一做 用尺规作线段的垂直平分线. [师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线． 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． 随堂练习 课本P25 课时小结 本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线． 课后作业 习题1．6第1、3题 Ⅵ．活动与探究 (1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小； (2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小． (3)你发现了什么样的规律?试证明之； (4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改
第二课时： Ⅰ．提出问题，引入新课。 [师]习题1．6的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程) [生]我们发现三角形三边的垂直平分线交于一点． [生]这一点到三角形三个顶点的距离相等． 2．讲述新课 [师]现在我们就来从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，这是我们没有遇到过的，不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示． 1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置． 2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O． 求证；OA＝OB=OC． 解：1．如图所示： 可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外． 2．证明：∵AB＝AC， AD是BC的中线， ∴AD垂直平分BC (等腰三角形底边上的 中线垂直于底边)． 又∵AB的垂直平分线与AD交于点O， ∴OB＝OC＝OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)． 多媒体演示： 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 以上问题演示时依次出现． [生](1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图： 已知：三角形的一条边a和这边上的高h． 求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h．
从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或△A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等． [生]这样的△ABC应有两个，为什么不作出另一个呢? [师]他的这个问题提得很好，这里需要说明的是，作图分“定位作图”和“活位作图”， 前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制．如“作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形”都属于活位作图． 对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形，就说这个作图题有多少个“解”．对于活位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”． “已知底边及底边上，的高，求作等腰三角形．”属活位作图，虽然满足条件的三角形可作出两个，但因它们全等，故只有一解．从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的． 课时小结 本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”． 课后作业 习题1．7第1、2题 Ⅴ．活动与探究 求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．