教 学 设 计
月 日 课题 教 学 目 标 角平分线 课时 2 课型 新授 知识技能： 1．知道角平分线的性质、判定定理的证明． 2 会用尺规作已知角的角平分线． 过程方法： 1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． 2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力． 情感与价值观： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 重点难点 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 教学重点 1．角平分线的性质和判定定理的证明． 2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由． 教学难点 1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题． 2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明． 教学方法 探索——引导法 一张纸，直尺，圆规 角平分线(一) (一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)用尺规作角平分线． 角平分线(二) 1．定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD＝4cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC+CD．
教 学 过 程 （包括导引新课、依表导学、异步训练、达标测试、作业设计等） 第一课时： Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题 ： 还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的? [生]我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质。 [师]你能证明它吗? Ⅱ．展示思维空间，构建活动空间 [师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它，请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流． [生]已知：如图， OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD＝PE． 证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP, ∠PDO＝∠PEO＝90°， ∵△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) [师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论，我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题。 [生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． [生]我觉得这个命题是假命题，角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． [师)这位同学思 考问题很仔细．事实 上，从同一点出发的 两条射线一般组成两 个角，而“角的内部” 通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部，如上图所示，到∠AOB两边距离 相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件． 谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢? [生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． [师]它是真命题吗? [生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”
这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题． [师]你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) Ⅲ．随堂练习 如图，AD、AE分 别是△ABC中∠A内内 角平分线和外角平分 线，它们有什么关系? 解：∵AD平分∠CAB， ∴∠1、∠2= 1∠CAB． 21∠CAF． 2 又∵AE平分∠CAF， ∴∠3＝∠4＝ ∵∠CAB+∠CAF＝180°， ∴∠1+∠3＝11 (∠CAB+∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE． 22 Ⅳ．课时小结 这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力． Ⅴ．课后作业 1．习题1．8第1，2，3题． 2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．
第二课时： Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?(教师可用多媒体演示尺规作图过程)． [生]三角形的三个内角的角平分线交于一点. [生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等． [师]你还可以用什么方法说明上述结论呢? [生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点． [师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢?可以类比我们学过的知识解决吗? Ⅱ．展示思维过程，构建探究平台 [师生共析]已知： 如图，设△ABC的角平 分线BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC 的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理，PE＝PF． ∴PD＝PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)， ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． [师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢? [生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等． [师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即 定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等； 下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三 角 形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 三边垂直平分线 交于三角 形内一点 交于三角 形外一点 交于斜边的中点 到三角形三个 顶点的距离相等 到三角形边 的距离相等 三条角平分线 交于三角 形内一点 [师]下面我们来看问题2(多媒体演示) 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?
[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处． [师]你如何发现的? [生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等，这一点刚好符合． [生]我找到四处．(同学们很吃惊) [师]你是如何找到的? [生]除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠CBA的外角的角平分线的交点P3，因此满足条件的点共4个，分别是P、P1、P2、P3． Ⅲ．例题讲解 学生分析小组讨论，学生板演讲解。 Ⅳ．课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等,并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题． Ⅴ．课后作业 习题1．9第1、2题 Ⅵ．活动与探究 如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、C．已知△ABC的周长为2004，BC的边长为704，求△ADE的周长．