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表3.1电压空间向量与功率开关切换状态对应表
Vn V0 V1 V2 a 1 1 0 0 0 1 1 0 b 0 1 1 1 0 0 1 0 c 0 0 0 1 1 1 1 0 V3 V4 V5 V6 V7 表中功率晶体管的切换状态中1表示某一臂上开关导通，下开关截止，0表示该臂的下开关导通，上开关截止。控制功率开关以产生三相电压提供负载时，可采用空间向量来实现控制，为此首先定义空间电压向量U为：
（3-6） U?Ua?Ubej2?3?Ucej4?3
U(t)是一个旋转的空间矢量，，它的幅值不变，为相电压峰值，且以角频率??2?f按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量U(t)在三相坐标轴(a,b,c)上的投影就是对称的三相正弦量。
三相桥式电压型有源逆变器的数学模型就是根据三相有源逆变器的拓扑结构，利用电路基本定律（基尔霍夫电压、电流定律）对三相有源逆变器所建立的一般数学描述。简历三相有源逆变器的数学模型是深入分析和研究三相有源逆变器工作机理及动态和静态特性的重要手段，也是实现其控制的重要步骤。
开关函数描述的一般数学模型是对三相桥式电压型逆变器开关过程的精确描述，较适合于逆变器的波形仿真。然而，采用开关函数描述的电压型逆变器一般数学模型由于包括了其开关过程的高频分量，因而很难用于指导控制器设计。当逆变器开关频率远高于电网基波频率时，为简化逆变器的一般数学描述，可忽略逆变器开关函数描述模型中的高频分量，即只考虑其中的低频分量，从而获得采用占空比描述的低频数学模型。这种采用占空比描述的逆变器低频数学模型非常适合于控制系统分析，并可直接用于控制器的设计。 2.空间坐标系建立与变换
1）三相静止坐标系a-b-c模型建立
由以上分析及式3-3-1，可以建立空间平面角度互差120o的三相坐标系Sabc。 根据图3.1三相电压型逆变器在不同开关切换状态下可以决定相电压和线电压的大小。在三相静止坐标系Sabc中对三相有源逆变器建立采用开关函数描述的电压型逆变器数学模型。
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为分析方便，定义单极性二值逻辑开关函数Sk为：
1上桥臂导通，下桥臂关断 Sk?? (k?a,b,c )??0上桥臂关断，下桥臂导通结合表3-3-1可以得到合成的六个非零电压空间向量与两个零电压空间向量如图3-9，图中六个非零电压向量在平面上各相邻60o并将平面分隔为六个区间：
图3.9 基本电压空间向量
可以得到用开关信号?Sa,Sb,Sc?表示的逆变器交流端输出的相电压和线电压，它们分别是：
1?Sa??Ua??2?1????U?S???12?1 ?Ub??dc????b? （3-7） 3??????1?12???Uc???Sc???Uab??1?10??Sa??????S? （3-8） 1?1 ?Ubc??Udc?0???b?????101????Uca???Sc?? 于是，电压空间矢量调制法就是在电压空间向量平面上，给予任何一个设定的电压向
量，并以六个非零电压向量加上两个零电压向量合成所要求的电压向量。根据逆变器的开
关信号?Sa,Sb,Sc?可以产生8种状态。表3.2列举了在所有开关状态下的逆变器的输出电压情况 。
现以落在第一区的参考向量Uref为例,如图3.10,合成该向量最直接的方式就是将其表示为U4与U6的向量和:
图3.10 电压矢量在第一区的矢量合成图
?????T???T???Uref?1U4?2U6 (3-9)
TzTz
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表3.2电压空间向量、相电压以及线电压与开关状态的关系
开关状态 输出相电压 输出线电压 Sa 0 0 0 0 1 1 1 1 Sb 0 0 1 1 0 0 1 1 Sc 0 1 0 1 0 1 0 1 Ua 0 -1/3 -1/3 -2/3 2/3 1/3 1/3 0 Ub 0 -1/3 2/3 1/3 -1/3 -2/3 1/3 0 Uc 0 2/3 -1/3 1/3 -1/3 1/3 -2/3 0 Uab 0 0 -1 -1 1 1 0 0 Ubc 0 -1 1 0 0 -1 1 0 Uca 0 1 0 1 -1 0 -1 0 2）两相旋转坐标系d-q模型与坐标变换 通过建立三相静止坐标系(a,b,c)中的逆变器的数学模型具有物理意义清晰、直观等特点。但这种数学模型中,逆变器交流侧均为时变交流量,因而不利于控制系统设计.为此,可以通过坐标变换将三相静止坐标系?a,b,c?转换成两相静止的坐标系?d,q?.这样,经过坐标转换后,即转换三相桥式电压型逆变器?d,q?模型.
三相相电压空间矢量Ua?t?、Ub?t?、Uc?t?，它们的方向始终在各项的轴线上，而大小则随时间按正弦规律做变化，时间相位互差120o。假设Um为相电压有效值，f为电源频率，则有：
?Ua(t)????Ub(t)????Uc(t)?2Umcos(2?f?t)2Umcos(2?f?t?2?3) （3-10） 2Umcos(2?f?t?2?3)考虑将三相坐标系统中Vs?t?转换成二维垂直坐标系，如图3.11所示，该图中，二维
垂直坐标系以ds?qs表示，其中ds和as轴重合，此系统即为静止参考坐标。
由图3.11可得到对应的转换关系为：
???s11??j2?3j4?3v?cRev?cRev?ve?ve?cv?v?vcs????sasbscsasbs?ds22??? （3-11） ??????vs?cImv?cIm?v?vej2?3?vej4?3??c?3v?3v??sasbscsbscs??qs22????????? 中国矿业大学2012届本科生毕业设计(论文) 第25页
bsVs(t)Vcs(t)Vbs(t)asVas(t)asVqsVsbsqVdsdcscs
(a)三相电压空间矢量图 （b）静止参考坐标
图3.11 三维与二维坐标系
上式中c为一转换常数，可根据功率关系求得，由：
Pabcs?vasias?vbsibs?vcsics （3-12）
在ds?qs坐标中，有：
sssss P s q s （3-13） i?idq?vdsdsvq并引用电流电压基尔霍夫方程可以求出待定常数c的值。
上述坐标系变换通常分成非功率不变法和功率不变法变换两种。非功率不变法变换前后通用矢量相等，也称为2/3变换。“灯功率”变换在坐标变换前后功率相等，或称为23变换。实际情况时，可根据具体要求任意选用两种变换。这里遵循等功率变换建立?d,q?坐标系下的模型。
三相静止坐标系和两相静止坐标系之间的变换中，a相绕组的轴线作为d轴（实轴），从d轴沿逆时针方向旋转90o作为q轴方向。?d,q?坐标系上的各分量与三相坐标系?a,b,c?各分量之间，有如下关系：
1?1??xd?2?2? ???3?3?xq?0??21??xa????xa?2??? (3-14) ??xb??Tss?x?b?3???xc?xc??????2?这里矩阵Tss实现三维坐标到二维坐标的转换。
3. 空间矢量脉宽调制基本原理分析
三相正弦波电压在电压空间矢量中合成一个等效的旋转电压，这就形成SVPWM的理论基础，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。。利用以上电压向量合成技术，再对照旋转电压向量的概念，若在电压空间矢量上，将设定的电压向量由U4位置开始，每一次增加一个小增量，每个小增量设定电压向量可以用该区域中相邻的两个基本非零向量与零电压向量予以合成，如此得到的设定电压向量就等效于一个在电压空间向量平面上平滑旋转的电压空间向量，而达到电压空间向量脉宽调制的目的。在某一时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的两个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。两个矢量的作用时间可以一次施加，
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也可以在一个采样周期内分多次施加，这样通过控制各个电压矢量的作用时间，使电压空间矢量接近按圆轨迹旋转，就可以使逆变器输出近似正弦波电压。
由式（3-3-6）关系式，三相电压空间矢量相加的合成空间矢量U?t?就可以表示为：
2j2?3j4?3?Ut?Ute?Ute U?t??? （3-15） ??????abc??3它的幅值不变，为相电压峰值，且以一定角频率??2?fU?t?是一个旋转的空间矢量，
按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量U?t?在三相坐标轴?a,b,c?上的投影是对称的三相正弦量。
由前述分析和表3-3-1知三相逆变器的开关信号?Sa,Sb,Sc?可以产生8中基本工作状态，即：100、110、010、011、001、101、111、000。将表3-1中的八组相电压值带入式（3-3-11），就可以求出这些相电压的矢量和相位角，这八个矢量就称为基本电压矢量，可分别命名为U0?000?、U1?001?、U2?010?、U3?011?、U4?100?、U5?101?、U6?110?、
U7?111?，其中U0、U7称为零向量，其余六个基本电压是粮食有效的，称为非零矢量。图3.12给出了八个基本电压空间矢量的大小和位置。其中非零矢量的幅值相同，相邻的矢量间隔60o，而两个零矢量幅值为零，位于中心。
图3.12 电压空间矢量图
在每一个扇区，选择相邻的两个电压矢量以及零矢量可以得到：
Uref?T?Ux?Tx?Uy?Ty?Uw?T0 （3-16）
Uref为期望电压矢量；T为采样周期；Tx、Ty、T0分别为对应两个非零电压矢量Ux、Uy和零电压矢量Uw在一个采样周期的作用时间；其中Uw包括了U0和U7两个零矢量。利
用有三维坐标到二维坐标的转换关系，可以得到下表3.3:
三相正弦波电压在电压空间向量中合成一个等效的旋转电压，其旋转速度是输入电源角频率，等效旋转电压的轨迹将是如图3.12所示的圆形。所以要产生三相正弦波电压，可以利用以上电压向量合成的技术，再对照旋转电压向量的概念，若在电压空间矢量上，将设定的电压向量由U4位置开始，每一次增加一个小增量，每个小增量设定电压向量可以用该区域中相邻的两个基本非零向量与零电压向量予以合成，如此得到的设定电压向量