D. 选修45：不等式选讲
abcbca
已知a、b、c是正实数，求证：2＋2＋2≥＋＋.
bcaabc
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小；
(2) 求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值．
222
23. (本小题满分10分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙．
(1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；
(2) 比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．
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南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试
数学参考答案及评分标准 31
1. 25 2. 2 3. －9 4. R 5. 6. 4
22
a1·a3·a5?a2 011197π7. ＝a1 006 8. 29 9. 0 10. 11. 12. 2 13. 14. ?，2??? a2·a4·a6?a2 0101784
3?1－cos2x?13
15. (1) f(x)＝＋sin2x－
222
13π?＝sin2x－cos2x＝sin?2x－.(4分) ?223?
πππ2π
∵0＜x＜，∴－＜2x－＜.(6分)
2333ππ5π
∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)取最大值1.(7分)
3212
π?ππ5π
(2) ∵f(x)＝sin?2x－，x是三角形的内角，则0＜x＜π，－＜2x－＜.
?3?3331π?1
令f(x)＝，得sin?2x－＝，
?23?2
πππ5π∴2x－＝或2x－＝.
3636π7π
解得x＝或x＝.(9分)
412
1π7π
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f(A)＝f(B)＝，∴A＝，B＝.
2412
π
∴C＝π－A－B＝.(11分)
6
π2sin
BCsinA42
由正弦定理，得＝＝＝＝2.(14分)
ABsinCπ1
sin
62
16. (1) 过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF. AE5EG5
∵1＝，∴＝，∴EG＝10＝BF. A1A8AD8
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG.
[来源学科网]∴四边形BFGE是平行四边形．
∴BE∥FG.(4分)
又FG?平面A1FD，BE?平面A1FD， ∴BE∥平面A1FD.(6分)
(2) ∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD. 由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F＝A1， ∴BD⊥平面A1AF.
∴BD⊥AF.(8分)
∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，
AD
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2.
ABFBBF
在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝.
AB8
π
∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，
2
BF1
∴＝，BF＝4.(10分) 82
∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD， 又平面ABCD∩平面AA1B1B＝AB，∠ABF＝90°，
∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．(12分) ∵∠AA1B1＝90°，AA1＝BB1＝8，A1B1＝AB＝8， ∴S△AA1B1＝32.
1128
∴V三棱锥A1AB1F＝V三棱锥FA1B1A＝×S△AA1B1×BF＝.(14分)
33
17. (1) 当x＝0时，t＝0；(2分)
1111
当0＜x≤24时，＝x＋.对于函数y＝x＋，∵y′＝1－2，
txxx
1
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y＝x＋单调递增，
x1
当1＜x≤24时，y′＞0，函数y＝x＋单调递增，
x
∴y∈.
综上，t的取值范围是]．(5分)
2
3a－t＋，0≤t≤a，
32
(2) 当a∈]时，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋＝(8分)
321
t＋a＋，a≤t≤.
32
217
∵g(0)＝3a＋，g??＝a＋，
?2?36
11
g(0)－g??＝2a－. ?2?2
11g??，0≤a≤，?2?4
故M(a)＝
11g?0?，＜a≤
42
?
??
???
?a＋6，0≤a≤4，＝?211
3a＋，＜a≤?342.
71
(10分)
4
当且仅当a≤时，M(a)≤2，(12分)
9
4
故a∈]时不超标，a∈?，1]时超标．(14分)
?9
222
18. (1) ∵P(－1，3)在⊙O：x＋y＝b上， ∴b2＝4.(2分)
→→
又∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OP，∴OP·AP＝0，
即(－1，3)·(－1＋a，3)＝0，解得a＝4.
22xy
∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
164222
(2) 设F(c,0)，c＝a－b，
PA
设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1＋a)2＋y21＝λ，λ是常数．
PF
2222
即b＋2ax1＋a＝λ(b＋2cx1＋c)，(8分)
2222
比较两边，b＋a＝λ(b＋c)，a＝λc，(10分)
22222323
故cb＋ca＝a(b＋c)，即ca－c＋ca＝a，
3
即e－2e＋1＝0，(12分)
5－1
(e－1)(e2＋e－1)＝0，符合条件的解有e＝，
2
5－1
即这样的椭圆存在，离心率为.(16分)
2
2
19. f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．
x2
(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)
3
?ax－1??x－2?
(2) f′(x)＝(x＞0)．
x11
①当0＜a＜时，＞2，
2a1
在区间(0,2)和?，＋∞?上，f′(x)＞0；
?a?1?在区间?2，
?a?上，f′(x)＜0，
11
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和?，＋∞?，单调递减区间是?2，?.(6分)
?a??a?2
?x－2?1
②当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)
22x1111
③当a＞时，0＜＜2，在区间?0，?和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间?，2?上，f′(x)
?a??a?2a
1??1，2?.(10分) ＜0，故f(x)的单调递增区间是?0，和(2，＋∞)，单调递减区间是?a??a?
(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.(11分) 由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，
1
①当0＜a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，
2
故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2 ＝－2a－2＋2ln2，
1
∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)
2
11
②当a＞时，f(x)在?0，
?a]上单调递增，在]上单调递减， 2
1?1
故f(x)max＝f?＝－2－－2lna.
?a?2a111
由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，
22e
∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，(15分) 综上所述，a＞0.(16分)
an?a2n＋1＋1?
20. (1) 易知，对一切n≥1，an≠0，由an＋2＝，得2an＋1依次利用上述关系式，可得 an＋1an－1ana2
＝＝＝?＝2＝＝1， 11111an＋an－1＋an－2＋a1＋1＋
anan－1an－2a11
?an＋1?
从而数列?1?是常数列．(4分)
an＋?an?
1
(2) 由(1)得an＋1＝an＋. an
an＋21
an＋1＋
an＋1
＝an＋1
. 1an＋
an
1
又a1＝1，∴可知数列{an}递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而0＜2≤1.(6分)
an
?an－1＋1?2＝a2－＋1＋2，
当n≥2时，a2＝nn1
?an－1?a2n－112
于是a2n－an－1＝2＋2，
an－1
22
∴2＜an－an－1≤3.(8分)
12
(3) 当n≥2时，a2n＝an－1＋2＋2，
an－1
112
∴a2＝＋?＋n22＋a1＋2(n－1)．
an－1a1
22
a1＝1，a2＝4，则当n≥3时，
112
a2n＝2＋?＋2＋a1＋2(n－1)
an－1a111
＝2＋?＋2＋1＋1＋2(n－1) an－1a211
＝2＋?＋2＋2n＞2n. an－1a2
112
a2 011＝2＋?＋2＋2(2 011－1)＋1＞4 021
a2 010a1
2
＞3 969＝63，(10分)
11
a2＋?＋2＋2(2 011－1)＋1 2 011＝2a2 010a1
11
＝4 021＋2＋?＋2
a1a2 0101111
＜4 020＋＋＋＋?＋
1462×2 0101111?＝4 022＋?＋＋?＋
2?232 010?1
＝4 022＋ 2
?1＋1＋?＋1?＋?1＋1＋?＋1?] ?4041199??2002012 010?
1
＜4 022＋ 2
?1＋1＋?＋1?＋?1＋1＋?＋1?] ?404040??200200200?1111
＝4 022＋?×38＋×160＋?＋×1 811?
?2?240200
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