12
＜4 022＋(19＋4＋10)＜4 039＜4 096＝64.(14分)
2
∴63＜a2 011＜64，即a2 011的整数部分为63.(16分)
南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
21. A: (1) 连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD，∴OP∥BP，从而OP⊥l. ∵P在⊙O上，∴l是⊙O的切线．(6分)
(2) 连接AP，∵l是⊙O的切线， ∴∠BPD＝∠BAP.
又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°， ∴∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.(10分) B：]]＝]．(6分)
设A(a，b)，则由]]＝]， ??－b＝－3，得? ?a＋2b＝4，?
??a＝－2，∴?即A(－2,3)．(10分) ?b＝3，?
2
，①?x＝t＋1
C：C：?2t
y＝
?t＋1，②21
2
②y
得t＝，代入①，化简得x2＋y2＝2x. ①x
2
又x＝2≠0，∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．(6分)
t＋1
1
圆C1的圆心到直线l：y＝x－的距离
2
?1－0－1??2?1d＝＝. 22214
所求弦长为21－d2＝.(10分)
2
ab?2?bc?2?ca?2a2b2c2??abc???D：由?－?＋?－?＋?－?≥0，得2?2＋2＋2?－2?＋＋?≥0， bccaabbcabca222
abcbca
∴2＋2＋2≥＋＋.(10分) bcaabc22. 作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P?0，2，0?，D?－2，2，0?，O(0,0,2)，M(0,0,1)． ???2?22
→→
(1) AB＝(1,0,0)，MD＝?－2，2，－1?，
?2?2
1→→
则cos〈AB，MD〉＝－，
2π
故AB与MD所成角为.(4分)
3
→→
(2) OP＝?0，2，－2?，OD＝?－2，2，－2?，
???2?22
设平面OCD的法向量n＝(x，y，z)，
→→则n·OP＝0，n·OD＝0，
2y－2z＝0，2即
22－x＋y－2z＝0，22
???
取z＝2，则n＝(0,4，2)．(6分)
易得平面OAB的一个法向量为m＝(0,1,0)，
22cos〈n，m〉＝，(9分)
3
22
故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为.(10分)
3
23. (1) p1＝pn(2－pn)，(2分) p2＝pn(2－p)n.(4分) (2) (用二项式定理证明)
nnn
p2－p1＝p{－2＋}
n
＝p{－2 ＋}
＝pn＞0.(10分)
nn
说明：作差后化归为用数学归纳法证明：(2－p)＞2－p也可．
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