第一部分 二 26
一、选择题
1．(文)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 C．－1 [答案] A
[解析] m＝x－1－x，令t＝1－x≥0，则x＝1－t2， 15
∴m＝1－t2－t＝－(t＋)2＋≤1，故选A．
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(理)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )
A．1 [解析] 将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件 2 ???g?1?>0，?x－3x＋2>0，?即?2 ?g?－1?>0，???x－5x＋6>0， B．0 D．－2 B．x<1或x>3 D．x<2或x>2 解之得x<1或x>3. [方法点拨] 1.函数与方程的关系 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究． 2．应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种： (1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解． (2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决． 2．(文)(2014·哈三中二模)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( ) A．(1)(2) C．(2)(4) [答案] C B．(1)(3) D．(3)(4) [解析] 爬行路线为(4)，故选C． 时正视图为(2)；爬行路线是时，正视图为 [方法点拨] 若几何图形的位置不确定时，常常要对各种不同情况加以讨论． (理)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是( ) A．(0，6＋2) C．(6－2，6＋2) [答案] A [解析] 若构成三棱锥有两种情形． 一种情形是三条长为2的线段围成三角形作为棱锥的底面，过BC的中点M作与BC垂直的平面α，在平面α内，以A为圆心AP＝2为半径画圆，点P在此圆周上，且不在平面ABC内时，构成三棱锥P－ABC，此时PB＝PC＝a，易求得6－2 B．(1,22) D．(0,22) AB＝AC＝BD＝DC＝2， AD＝BC＝a， 此时2a24－>a， 4 ∴0 又∵6＋2>22>6－2， 取两者的并集得，0 [方法点拨] 1.分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类． 2．分类讨论的步骤：(1)确定分类讨论的对象和分类标准；(2)合理分类，逐类讨论；(3)归纳总结，得出结论． 3．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引发的分类讨论：如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数、一次、二次函数、正比例函数、反比例函数、幂函数、复数的概念、三角函数的定义域． (2)由性质、定理、公式、法则的限制条件引起的分类讨论，如等比数列前n项和公式、不等式的一些性质、函数的单调性、根式的性质． (3)由数学运算引起的分类，如除数不为0，偶次方根的被开方数非负，对数函数的底数a>0且a≠1，指数运算中对底数的限制，不等式两边同乘以一个正数(负数)，排列组合中的分类计数． (4)由图形的不确定性引起的讨论，如图形的类型、位置，角的终边所在象限、点线面位置等，点斜式(斜截式)直线方程适用范围，直线与圆锥曲线的位置关系． (5)由参数的变化引起的分类讨论：含参数的问题(方程、不等式、函数等)，由于参数的不同取值会导致结果不同或不同的参数求解、证明的方法不同等． (6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论． y2x21 3．(文)圆锥曲线＋＝1的离心率e＝，则a的值为( ) 8a＋72A．－1 11 C．－1或 3[答案] C [解析] 因焦点在x轴上和y轴上的不同，离心率e关于a的表达式发生变化，故需分类．当焦点在x轴上时， a＋7－8111e2＝＝，解得a＝； 43a＋7当焦点在y轴上时， 8－?a＋7?1 e2＝＝，解得a＝－1.故选C． 84 11 B． 3 D．以上均不正确 (理)将1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中，a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，a5＝5)，则满足a1a3，a3a5的排列个数是( ) A．10 C．14 [答案] D [解析] ∵a3a1，a2>a3入手讨论)， (1)当a3＝3时，a2，a4只能是4,5，共有A2A22·2种； (2)当a3＝2时，a2，a4可以为3,4,5，∵a5 1∴共有A12A3种； B．12 D．16 (3)当a3＝1时，从剩下4个元素中选两个排在a1，a2位置，只有一种排法，余下两个排在a4，a5位置也只有一种排法，∴有C24种． 212综上知，共有A2A12A2＋A2·3＋C4＝16种． x2y24．若a>1，则双曲线2－＝1的离心率e的取值范围是( ) a?a＋1?2A．(1，2) C．[2，5] [答案] B 22 c2a＋?a＋1?11 [解析] e＝()＝＝1＋(1＋)2，因为当a>1时，0<<1，所以2 2 B．(2，5) D．(3，5) 5．如图所示，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( ) [答案] D 1112 [解析] 当0 224111 当2 2223 是开口向下，以(3，)为顶点的抛物线． 2当x>3时，f(x)是确定的常数，图象为直线． 二、填空题 →→→ 6．如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设AP＝αAB＋βAF(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________． [答案] [3,4] [解析] 建立如图所示的直角坐标系，设正六边形边长为2，则C(2,0)，A(－1，－3)，B(1，－3)，D(1，3)，E(－1，3)，F(－→→→2,0)，设P(x，y)可得AP＝(x＋1，y＋3)，AB＝(2,0)，AF＝(－1，3)， ?x＋1＝2α－β，x＋1＋3y＋31→→→∵AP＝αAB＋βAF，∴?则α＋β＝＝22?y＋3＝3β， x＋ 313 y＋2，当点P在如图阴影部分所示的平面区域内时，可作平行直线系x＋y＋2＝z，222 13 当直线过点E或C时，α＋β取得最小值，(α＋β)最小值＝×2＋×0＋2＝3；当直线过点D 2213 时，α＋β取得最大值，(α＋β)最大值＝×1＋×3＋2＝4，则α＋β的取值范围是[3,4]． 22 [方法点拨] 和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．