111＝(t－m)2－m2－， 222ππ又因为x∈[，]，
42
π
t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，
4所以1≤t≤2.
当m<1时，g(t)在[1，2]上单调递增， 当t＝1时g(t)取得最小值，得－m＝2， 所以m＝－2，符合题意；
当m>2时，g(t)在[1，2]上单调递减， 1
当t＝2时，g(t)取得最小值，得－2m＝2，
232所以m＝－，与m>2矛盾；
4
11
当1≤m≤2时，g(t)在t＝m处取得最小值，得－m2－＝2，所以m2＝－5，无解．
22ππ
综上，当函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2时，实数m的值等于－2.
42
11．(文)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a.(a∈R)，设数列的前n项和为Sn
111
且，，成等比数列． a1a2a4
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
11111111
(2)记An＝＋＋＋?＋，Bn＝＋＋＋?＋，当n≥2时，试比较An与
S1S2S3Sna1a2a22a2n－1
Bn的大小．
111
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由()2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．
a2a1a4因为d≠0，所以d＝a1＝a. an?n＋1?
所以an＝na，Sn＝.
21211
(2)因为＝(－)，所以
Snann＋1
111121An＝＋＋＋?＋＝(1－)．
S1S2S3Snan＋1
1111－
因为a2n－1＝2n1a，所以Bn＝＋＋＋?＋
a1a2a22a2n－11
1－??n
2121
＝·＝(1－n)， a1a21－2
1n
由n≥2时，2n＝C0n＋Cn＋?＋Cn>n＋1，
即1－
11
<1－n，
2n＋1
所以，当a>0时，An
x1
，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)(n∈N*)，
33x＋1
?1?
(1)求证：数列?a?是等差数列；
?n?
xx2xn
(2)记Sn(x)＝＋＋?＋(x>0)，求Sn(x)．
a1a2an[分析] (1)找出an与an＋1关系； (2)用错位相减法求和． [解析] (1)由已知得an＋1＝∴
1
an， 3an＋1
3an＋1111＝＝3＋.∴－＝3.
ananan＋1anan＋1
?n?
?1?
∴?a?是首项为3，公差为3的等差数列．
1
(2)由(1)得＝3＋3(n－1)＝3n，
an∴Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋?＋3nxn.
3?n＋1?n
x＝1时，Sn(1)＝3＋6＋9＋?＋3n＝；
2x≠1时，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋?＋3nxn， xSn(x)＝3x2＋6x3＋?＋3(n－1)xn＋3nxn1，
＋
(1－x)Sn(x)＝3x＋3x2＋?＋3xn－3nxn1，
＋
3x－3?n＋1?xn1＋3nxn2
Sn(x)＝. ?1－x?2＋
＋
3
综上，当x＝1时，Sn(1)＝n(n＋1)，
23x－3?n＋1?xn1＋3nxn2
当x≠1时，Sn(x)＝.
?1－x?2＋
＋
[方法点拨] 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
12．(文)设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f ′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
[分析] (1)求函数f(x)的单调区间，需判断f ′(x)的正负，因为含参数a，故需分类讨论；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题．
[解析] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f ′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． (2)由于a＝1，所以(x－k)f ′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1. 故当x>0时，(x－k)f ′(x)＋x＋1>0等价于 x＋1
k
令g(x)＝x＋x，则
e－1
－xex－1ex?ex－x－2?
g′(x)＝x＋1＝. ?e－1?2?ex－1?2由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k [方法点拨] 本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法．利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围． (理)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)． (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M. [解析] f′(x)＝3x2－2kx＋1. (1)当k＝1时f′(x) ＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8<0， ∴f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，f(x)没有单调递减区间． k (2)当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其开口向上，对称轴x＝ ，且过(0,1)． 3 ① (i)当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)≤0，即－3≤k<0时，f′(x)≥0，f(x) 在[k，－k]上单调递增， 从而当x＝k时，f(x)取得最小值 m＝f(k)＝k， 当x＝－k时，f(x) 取得最大值M＝f(－k)＝－k3－k3－k＝－2k3－k. (ii)当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)>0，即k<－3时，令f′(x)＝3x2－2kx＋1＝0 k＋k2－3k－k2－3 解得：x1＝，x2＝，注意到k 33 12k (注：可用韦达定理判断x1·x2＝，x1＋x2＝>k，从而k 33判断) ∴m＝min{f(k)，f(x1)}，M＝max{f(－k)，f(x2)} 32 ∵f(x1)－f(k)＝x1－kx21＋x1－k＝(x1－k)(x1＋1)>0， ∴f(x)的最小值m＝f(k)＝k， 23∵f(x2)－f(－k)＝x32－kx2＋x2－(－2k－k) ＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]<0， ∴f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k. 综上所述，当k<0时，f(x)的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k. x2y213．(文)(2015·北京西城区二模)设F1，F2分别为椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦 ab点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2. (1)若椭圆E的离心率为 6 ，求椭圆E的方程； 3 (2)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>2. [解析] (1)设c＝a2－b2， c6由题意得a2＋b2＝4，且＝， a3解得a＝3，b＝1，c＝2， x22 所以椭圆E的方程为＋y＝1. 3 x2y2 (2)证明：由题意得a＋b＝4，所以椭圆E的方程为2＋＝1，则F1(－c,0)，F2(c,0)， a4－a22 2 c＝a2－b2＝2a2－4. 设P(x0，y0)，由题意知x0≠±c， y0则直线F1P的斜率kF1P＝， x0＋cy0直线F2P的斜率kF2P＝， x0－c所以直线F2P的方程为y＝ y0(x－c)， x0－c －y0c－y0c 当x＝0时，y＝，即点Q(0，)， x0－cx0－cy0所以直线F1Q的斜率为kF1Q＝， c－x0因为以PQ为直径的圆经过点F1， 所以PF1⊥F1Q， y0y0所以kF1P×kF1Q＝×＝－1， x0＋cc－x0 22 化简得y20＝x0－(2a－4)， ① 又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内， x2y200所以2＋＝1，x0>0，y0>0， ② a4－a2a21 联立①②，解得x0＝，y0＝2－a2， 221222 所以|OP|2＝x20＋y0＝(a－2)＋2， 2因为a2＋b2＝4<2a2，所以a2>2， 所以|OP|>2. (理)(2015·新课标Ⅱ理，20)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； m?(2)若l过点??3，m?，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． [立意与点拨] 考查直线的斜率、椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系．(1)问中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解；(2)根据(1)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xP＝2xM以及直线l m 过点(，m)列方程求k的值． 3 [解析] (1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝x1＋x2kb kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－2，yM＝kxM 2k＋9＋b＝ 9byM9 .于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的 xMkk＋9 2斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB能为平行四边形． m 因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3. 39??y＝－kx，9 由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP.由?k ??9x2＋y2＝m2，即xP＝ 得x2P＝ k2m2 ， 9k2＋81 m?3－k?mk?k－3?±kmm .将点(，m)的坐标代入直线l的方程得b＝，因此x＝.四M 333?k2＋9?3k2＋9 ±km ＝ 3k2＋9 边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是 mk?k－3?2×2.解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－7 3?k＋9?或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．