按纤芯折射率分布可分为阶跃折射率光纤和梯度折射率光纤。前者芯径折射率是均匀的，在纤芯和包层的分界面折射率发生突变；后者折射率是按一定函数关系随光纤中心径向距离变化
3-1-2 光纤中光线传输特性
分析光波在光纤中的传播特性有两种基本方法：光线光学和波动光学。本文中所用光纤芯径远大于半导体激光器的辐射波长，故可以采用光线光学的方法进行分析。 3-1-2-1 子午光线的传播
通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面，位于子午面内的光线称为子午光线。图3.2为均匀折射率光纤中子午光线传播示意图。子午光线的传播特点是：入射光线、反射光线和分界面的法线三者均在子午面内。
[41]
。
图3.2 子午光线的全反射 Fig. 3.2 Total reflection of meridional ray
其中，n1和n2分别为纤芯和包层的折射率，n0为光纤周围介质的折射率。要使光能完全限制在光纤内传输，则光线在纤芯-包层分界面上的入射角?大于等于临界角?0，即
sin?0?n2 （3.1） n1n2) （3.2） n1???0?arcsin(式中: ?0??/2??0 （3.3）
sin?0?1?(根据菲涅耳定理可得
n22) （3.4） n1??n1sin? （3.5） n0sin
n0sin?0?n1sin?0?n1?n2 （3.6）
22相应于临界角?0的发射角?0，通称为孔径角，反应了光纤集光能力的大小。于此类似，n0sin?017
定义为光纤的数值孔径，一般用NA表示，即
NA子?n0sin?0?n1?n2 （3.7）
3-1-2-2 斜光线的传播
光纤中不在子午面内的光线都是斜光线，它和光纤的轴线既不平行也不相交，其空间轨迹是空间螺旋线。同理，由图3.3中的几何关系可以求出斜光线的全反射条件。图中QK为入射在光纤中的斜光线，它与光纤轴OO’不共面；H为K在光纤横截面的投影，HT⊥QT，OM⊥QH，ψ为光线在纤芯-包层分界面上的入射角
[41]
22。
图3.3 斜光线的全反射光路
Fig. 3.3 total reflection light transmission of oblique light
由图中几何关系得斜光线的全反射条件为
cos?0?cos?sin??1?(已知
n22) （3.8） n1?0??/2??0 （3.9）
由折射定律n0sin??n1sin?，可得斜光线在光纤传播中满足全反射的条件为
sin?cos??n1?n2 （3.10）
则斜光线的数值孔径为
22NA斜?n0sin?0?n1?n2cos?22 （3.11）
通过上述计算可以得到斜光线的数值孔径大于子午光线的数值孔径，也就是说只要子午光线能在光纤中传播，那么斜光线也一定满足在光纤中传播的条件。因此，接下来的理论计算中只需考虑子午光线的传播。
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§3-2 耦合系统的光路设计
3-2-1 激光器光纤耦合条件
对于光纤耦合的分析通常有两种方法：模式耦合法和光线追迹法。前者多用于激光器与单模光纤的耦合，后者可以应用于激光器与多模光纤的耦合；多模光纤中能够传播的模式数目与其数值孔径有关，当数值孔径变大时，能够在其中传播的模式数目会急剧增加耦合效率的影响。
基于以上假设和多模光纤的传播理论，可以认为激光器与多模光纤的耦合需要满足的条件为：半导体激光器的光斑尺寸和发散角与光纤的芯径和接收角匹配。即激光器光束的光斑尺寸要小于光纤的芯径；光束发散角小于光纤的接收角。
在第二章中已经对半导体激光器的光束特性进行了介绍，接下来的计算和模拟中假设激光器垂直方向发射半角为40°，水平方向发射半角为10°，以确保可以包含激光器发出的所有光，使模拟结果更接近实际。
3-2-2 激光器光纤耦合光路设计
对于单管芯激光器，光源发光面积较小，一般用直接耦合的办法即可实现较高的耦合效率，目前常用光纤微透镜的方法进行耦合，光纤端面微透镜是在光纤的端面上制作一个微透镜以增大光纤的数值孔径，从而扩大接收光的范围。光纤微透镜的形状一般有斜面形、球形、锥形、楔形、双曲面形等，就目前文献看双曲面形柱状楔形的耦合效率最高
[13]- [14]
[42]
。为了简化处理，本文忽略模式匹配对
，但其制作难度很大，耦合容差也比较小。因此，本
文采用柱状楔形微透镜光纤进行耦合，光纤芯径为105μm，折射率n1?1.457，包层芯径为125μm，折射率n2?1.44，数值孔径NA=0.22。光纤耦合光路的设计主要是确定光纤的楔角和前端圆柱半径的大小。
3-2-2-1 柱状楔形微透镜参数设计
由于激光器垂直方向和水平方向的光束存在较大差异，我们对其在光纤中的传播进行分别讨论。另外，从3.1节中已经得到结论，斜光线的数值孔径大于子午光线的数值孔径，下文分析中均为子午光线的传播。
图3.4为垂直方向光线在光纤中传播示意图，φ为激光器的发射角，γ为光纤楔角的一半，θ为光线射到光纤芯径和包层临界线的夹角，n0?1为空气折射率，n1?1.457为光纤芯径的折射率，
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n2?1.44为包层的折射率。
图3.4 垂直方向光线传播 Fig. 3.4 Ray tracing of fast-axis
光线在光纤中传播需满足全反射的条件:
n1sin(?/2??c)?n2 （3.12）
?由式3.12得?c?8.7，即???c时，射到光纤上的光发生全反射被耦合进光纤芯内。
根据折射定律得：
n0sin(?/2????)?n1sin(?/2????) （3.13） 由式3.13得：
??arcsin(n0sin(?/2????)/n1)???? （3.14）
那么确定了γ，就可以得到满足??8.7?的发射角度φ，图3.5.1和3.5.2分别为??50和
???60?时φ与θ的关系图。
θ/°6300-3-6-9φ/°1020304050θ/°6300-3-6-91020304050
φ/°
图3.5.1 ??50? 图3.5.2 ??60?
图3.5不同γ时φ与θ的关系图
Fig. 3.5 φ and θ relationship diagram when different γ
从图3.5中可以看出，随着γ增大，满足全反射的大角度φ在减小，小角度φ在增加。同时，为了使光线在光纤端面的反射光尽可能小，我们希望γ越大越好，最终确定γ=56°（即楔角为112°）此时φ与θ的关系如图3.6所示， 即5????40?时满足全反射条件，在??5?的小角度不能满足全反射条件，故考虑在楔角的顶端设计一个柱状微透镜来耦合这些小角度的出射光。
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图3.6 ??60?时φ与θ的关系图 图3.7 柱状楔形光纤中的光线传播 Fig. 3.6 φ and θ relationship diagram when??60? Fig. 3.7 Ray tracing of wedge-fiber
柱状微透镜半径r的确定，令ψ=40°（±40°可包含激光器垂直方向的几乎所有光）刚好打到图3.7所示的A点，那么此时光源距原点0的长度L可以确定，如式3-15，其中a为光纤芯径的一半。
L?a/tan??a/tan? （3.15）
若发射角φc刚好打到圆弧和楔形相切处B（x’，y’），则B点位置可通过式3.16和式3.17确定。
y?xtan? （3.16）
y?tan?c(x?L) （3.17）
根据对称性圆弧的圆心在X轴上，设为（x0，0），半径为r，则圆弧的方程可以表示如下： (x?x0)2?y2?r2 （3.18）
?r/sin? （3.19）
由几何关系可得： x0将所求B（x’，y’）和式3.19带入式3.18即可得到圆弧的方程。经过计算和比较，当φc=15°时，r=16μm ，B点为（6，8.88）。激光器出射角φ均可使θ满足条件，如图3.8所示，光可在光纤中全反射传播。
图3.8 γ=56°，r=16μm时φ与θ的关系图
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