解：水蒸汽的自由度i?6，EH2O?Mi?RT?3RT Mmol2 氢气和氧气的自由度均为5，EH2?EO2? 内能的增量?E?51515RT??RT?RT 22245．有 2310?3 m3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.753102 J。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数
22
为 5.4310个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）因为PV?153RT?3RT?RT 44MM55RT，内能E?RT?N?kT。 MmolMmol222E2?6.75?10252所以 p? ??1.35?10N/m?35V5?2?10332E3E3?6.75?102（2）分子的平均平动动能?k?kT?????7.5?10?21J 22225N5N5?5.4?1033?k?kT??1.38?10?23?T?7.5?10?21J，T?362K
226．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K，
二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：设氦气、氧气的摩尔数分别为?1、?2，根据理想气体状态方程可知
pV?TV??1RT1,p??2RT2,2?1
2?1T22 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒
??E2?,?1 E1?E2?E13535RT1??2RT2??1RT??2RT, 22228T1T23?T?5?2T23T1?5(?2/?1)T23T1?5(T1/T2)T2??284.4k T?11??3T2?5T13?1?5?23?5(?2/?1)3?5(T1/T2)练习 二十 知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程 一、选择题
1． 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）
（A）速率为?的分子数；
（B）分子数随速率?的变化；
（C）速率为?的分子数占总分子数的百分比；
（D）速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
解：(D) f(v)?dN,速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
Ndv2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）
（A）这两种气体的平均动能相同； （B）这两种气体的平均平动动能相同； （C）这两种气体的内能相等； （D）这两种气体的势能相等。
解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,i?3;氢气为双原子(刚性)分子, i?5 3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z与温度T的关系为 ( ) （A）与T无关； （B）与T成正比； （C）与T成反比； （D）与T成正比； （E）与T成反比。
8R 解：(C)z?2vn?d2?28RTp?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）
（A）kT/4； （B）kT/3； （C）kT/2； （D）3kT/2； （E）kT。 解：(C)
5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A）部分势能和部分动能； （B）全部势能； （C）全部转动动能； （D）全部平动动能； （E）全部振动动能。
36
解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol双原子刚性分子理想气体，在1atm下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）
（A）23J； （B）46J； （C）2077.5J； （D）1246.5J； （E）12500J。 解：(C)?E?二、填空题
1．f(?)为麦克斯韦速率分布函数，
Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J
Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________，??0m?2f(?)d?的物理2意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：
?dNdNdv??vp?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率; vpNdv22??mv?mvdN,速率区间内分子的平均平动动能; 0~?f(v)dv?1;速率在0~?内的分子?02f(v)dv ??02N 0?f(v)dv????数占总分子数的比率为1。
2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T1和T2且T1 3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0 4．在温度为27℃时，2mol氢气的平动动能为 ，转动动能为 。 3解：分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?kT?3RT?3?8.31?300?7479J 2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J 5． 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此 ??55MikT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26．2 mol氮气，由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V)，气体内能的增量为__________。 解：内能E?Mii5RT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V Mmol222三、计算题 ? 1． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。 解：根据麦克斯韦速率分布函数可得 ?Nm3/2?4?()eN2?kT?mv22kTv2?v?4v2)ev?p(?(v2)vp?v(分子的质量为m) vp?(30002)vpN1?N430002)ev?p(?(30002)vpN30002104?110)e，1?(,N2?NeNvvpv?2pp3000?e, vp?2RT/Mmol? N130002?(2183)2?2183m/s，?()e?e?0.78, N22183?(mgh)kT2．假定大气层各处温度相同均为T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e， pRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的压证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?Mmolgp强减到地面的75%。 37 解：p?nkT?n0kTe?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h? h?RTpln0(分子的质量为m) MmolgpRTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为： ?4??2AdV ( ? F???0) dN??N?N?? ? ?F)?0 ( 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能 2?k?(m?F)?EF，此处EF叫做费米能。 33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vFA?解：(1)?f(v)dv?1, ?,??1，?3 3004?vFN3NNvFV13Vv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 302025?2vF?5315235?vFFF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝0.76 m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ 6.7310 m和?Ne=13.2310 m，求： (1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？ (2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝0.15 m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？ 2?ArdNed?Ar6.7??0.712 ?2,Ne?解：(1)??, 2d?13.2?d2?dnArNeNeAr/?8 ?8 1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m ， ?Ar????5.15p2T10.15?2882?d2p?ArkT, ?3?105．真空管的线度为 10?2m，其中真空度为1.33?10pa，设空气分子的有效直径为3?10m。求： （1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。 p1.33?10?38RT8?8.31?300173解：(1)n?,(2)??3.21?10个/mv???467m/s， kT1.38?10?23?300?Mmol3.142?0.0289z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v?z12?dn2?7.82m 练习 二十一 知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 p(atm)A32一、选择题 1． 如图所示为一定量的理想气体的p—V图，由图可得出结论 ( C ) 1（A）ABC是等温过程； （B）TA>TB； o（C）TA 解：(C)pAVA?pCVC?TA?TC;过A、C作等温线,B在过A、C的等温线之上。 BCV(10?3m3)1232． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D） （A）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。 3． 气体的摩尔定压热容Cp大于摩尔定体热容CV，其主要原因是 （ C ） （A）膨胀系数不同； （B）温度不同； （C）气体膨胀需作功； （D）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程QV??E;对等压过程Qp??E?A。 4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ） 38 （A）1:1； （B）5:9； （C）5:7； （D）9:5。 解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式: AQpRMMR/(7RT/2)5?O2?Qp?Cp?T,A?p?V?R?T?A??。 CpMmolAHeR/(5RT/2)7Mmol5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T1、压强p1、体积V1，准静态地等温压缩至体积V2，外界需作 多少功？ （ B ） （A）RT1ln(V2/V1)；（B）RT1ln(V1/V2)；（C）p1(V2?V1)；（D）(p2V2? p1V1)。 解：(B) pV?MVVRT,A外???pdV??MRT1?1dV?MRT1lnV1 。 VVVMmolMmolMmolV22211pa6． 在p—V图上有两条曲线abc和adc，由此可以得出以下结论： b （D） d（A）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B）两个过程吸收的热量相同； cV（C）两个过程中系统对外作的功相等；（D）两个过程中系统的内能变化相同。 o解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 7． 1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A、B两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ） pbp1(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化； (C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 cp0a二、填空题 V1． 一定量的理想气体从同一初态a(p0,V0)出发，分别经两个准静态过程ab和ac，boV0V1点的压强为p1，c点的体积为V1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则该气体的比热容比? =Cp/CV=_________________。 pMM解：Qab?Cp(Tc?Ta), CV(Tb?Ta), Qac?cbMmolMmolCMpV?pV?p/p?1?pV?pV pV?RT, ?CV?10?00??Cp?01?00?,??p?10daMmolR?R?CVV1/V0?1?R?RoV2． 如图所示，一理想气体系统由状态a沿acb到达状态b，系统吸收热量350J， 而系统做功为130J。 （1）经过过程adb，系统对外做功40J，则系统吸收的热量Q=____________。 （2）当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为60J，则系统吸收的热量Q=________。 解：根据热力学第一定律求解:?Eab?Qacb?Aacb?350?130?220J, Qadb?Aadb??Eab?40?220?260J,Qba?Aba??Eba??60?220??280J 3?． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E，对外作功A和吸收热量Q的正负（用符号?，?，0表示）： p绝热线p过程 A Q a?E cd等温线等体减压 0 ? ? 等压压缩 a? ? ? bbc绝热膨胀 + 0 VV? oo图(a) a→b→c 0 ? ? 图(a)图(b)a→b→c ? + ? 图(b) a→d→c ? + + 4．不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体，液体温度在升高，若将液体看作系统，则： (1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零； 5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m1∶m2 =__________，它们的内能之比为E1∶E2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A1∶A2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：pV?mM21miiEi5mRT?pV,1?1?; RT,1?1mol??;E?m2M2mol42Mmol22E2i23MmolQpRmmR?T?A?Qp?Cp?T,A?p?V?CpMmolMmol 39 ? AO2AHe?R/(7RT/2)5? R/(5RT/2)7三、计算题 1． 标准状态下的0.014kg氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， ?E?0 V吸收的热量和对外界所作的功Q?A?MRTln2?0.5?8.31?273?ln1??786J MMolV12?V1?T??1??1(2) 绝热过程，根据绝热方程2????2,T?2T1?360K, 2?T1?V?2?内能的改变?E?MCV?T?M5R?T?0.5?5?8.31?(360?273)?904J MMolMMol22吸收的热量Q?0, 对外界所作的功A???E??904J (3)等压过程 ??1V1V1V2?，T2?2T1?T1 T1T2V12MM55273CV?T?R?T?0.5??8.31?(?273)??1418J MMolMMol222MM273气体对外界所作的功为A?p?V?R?T?R?T?0.5?8.31?(?273)??565J MMolMMol2吸收的热量为 Q??E?A??198J3 内能增量?E?2． 2 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p ?V图所示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； p解：(1) 内能增量?E?MiR(T2?T1)?5(p2V2?p1V1) Mmol22Bp2 (2) 功等于直线AB下的面积A?1(p2V2?p1V1) 2p1OA (3) 根据热力学第一定律得 Q?A??E?3(p2V2?p1V1) 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照V?a/p的规律变化，其 V1V2V 中a为已知常量。试求： (1) 气体从体积V1膨胀到V2所作的功； (2) 气体体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比。 2V2V2aT1V2a2M1?2?1??解：A??pdV??， , ??dV?a??pV??RT?VV?V1V1V2TVVM2??121mol4． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为双原子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程T1V1??1?T2V2??1?V1?T由题意知，2????T1?V?2???12??1?2??1 v2T8RT?2?2根据平均速率公式v?得, v1T1?Mmol单原子?? i?27v2i?25v2?,?21/5?1.15 ?,?21/3?1.26;双原子??i5v1i3v15．温度为27℃、压强为1 atm的2 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。 (1) 计算这个过程中气体对外所作的功； (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 A?MVRTln2?2?8.31?300?ln3?5478J MMolV1??1?V1?T?(2) 根据绝热方程得 2???T1?V2?? 绝热过程 A??E?0 1?3??1,T2?3???1T1?3?7/5?1T1?0.644?300?193K A???E?? MM55CV?T??R?T??2??8.31?(193?300)?4446J MMolMMol2240