2012高考数学重点题型分析
1高考数学分类讨论重点题型分析 2高考数学函数重点题型分析 3高考数学排列与组合重点题型分析 4三角函数定义与三角变换题型分析 5正、余弦函数的有界性之解题作用 6高考数学数列重点题型分析 7高考数学数列专项训练题 8高考数学知识点考点常见结论详解 9既准又快中档题训练---确保不丢分
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1高考数学分类讨论重点题型分析
复习目标:
1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.
重点题型分析: 例1．解关于x的不等式:x2?a3?(a?a2)x(a?R)(黄冈，二模 理科）
2
解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a)<0 （下面按两个根的大小关系分类）
222
（1）当a>a?a-a<0即 0
222
（2）当a0即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a, a)
2222
（3）当a=a?a-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x<0或(x-1)<0 不等式的解为 x??.
2
综上，当 0
2
当a<0或a>1时，x?(a,a) 当a=0或a=1时，x??.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
2
例2．解关于x的不等式 ax+2ax+1>0(a?R) 解:此题应按a是否为0来分类.
（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a?0时分为a>0 与a<0两类
??a?0?a?0?a?0??2???a?1时，方程ax2+2ax+1=0有两 ①?????0?4a?4a?0?a(a?1)?0根
a(a?1)?2a?4a2?4a?a?a2?a x1,2?. ???1?2aaaa(a?1)a(a?1) 则原不等式的解为(??,?1?)?(?1?,??).
aa??a?0?a?0?a?0??2???0?a?1时， ②?????0?4a?4a?0?0?a?1 方程ax+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.
2
??a?0?a?0?a?0??2???a?1时， ③ ?????0?4a?4a?0?a?0或a?1 方程ax+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).
2
2
④??a?0??????0?a?0?a?0??4a2?4a?0???a?0时， ?a?0或a?1 方程ax2
+2ax+1=0有两根，x?2a?a(a?1)a1,2?2a??1?(a?1)a 此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:
(?1?a(a?1)a(a?1)a,?1?a). ⑤??a?0???????0?a?0a?0?2?4a?0???a?? ?4a?0?a?1综上:
当0≤a<1时，解集为（-?，+?）. 当a>1时，解集为(??,?1?a(a?1)a)?(?1?a(a?1)a,??). 当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?). 当a<0时，解集为(?1?a(a?1)a,?1?a(a?1)a).
例3．解关于x的不等式ax2
-2≥2x-ax(a∈R)(黄冈，二模 理科）
解:原不等式可化为? ax2
+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1]. (2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为(x?2a)(x?1)?0， ?a?0 当??2，即a>0时，不等式解为(??,?1]?[2,??).
??a??1a?a?0 当??2，此时a不存在.
??a??1② a<0时，不等式化为(x?2a)(x?1)?0，
?a? 当?0??2，即-2
?a?0 当???2，即a<-2时，不等式解为[?1,2].
?a??1a?a? 当?0?2，即a=-2时，不等式解为x=-1.
??a??1综上:
3
a=0时，x∈(-∞,-1).
a>0时，x∈(??,?1]?[2a,??).
-2
a<-2时，x∈[?1,2a].
a=-2时，x∈{x|x=-1}.
评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10
:能不分则不分； 20
:若不分则无法确定任何一个结果； 30
:若分的话，则按谁碍事就分谁.
例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2
+2a+5.有最大值2，求实数a的取值. 解:f(x)=1-sin2
x+asinx-a2
+2a+5??(sinx?a2)2?34a2?2a?6. 令sinx=t, t∈[-1,1]. 则f(t)??(t?a2)2?34a2?2a?6(t∈[-1,1]). (1)当
a?1即a>2时，t=1，y32max??a?3a?5?2 解方程得:a?3?213?212或a?2（舍）. (2)当?1?a2?1时，即-2≤a≤2时，t?a2,y32max??4a?2a?6?2,
解方程为:a??43或a=4（舍）.
(3)当a2??1 即a<-2时， t=-1时，y=-a2
max+a+5=2
即 a2
-a-3=0 ∴ a?1?13?1?132, ∵ a<-2, ∴ a?2全都舍去.
综上，当a?3?212或a??43时，能使函数f(x)的最大值为2.
例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:
log0.5Sn?log0.5Sn?22?log0.5Sn?1.
证
明
:
（
1
）
当
q=1
时
，
Sn=na1
从
S?S22nn?2?Sn?1?na1?(n?2)a1?(n?1)2a1??a21?0 （2）当q≠1时，Sa1(1?qn)n?1?q， 从而
a1?qn)(1?qn?2)?a S1(1?qn?1)2n?S212(2n?2?Sn?1???a12(1?q)2qn?0.
由（1）（2）得:S2n?Sn?2?Sn?1.
而4
x ∵ 函数y?log0.5为单调递减函数.∴
log0.5Sn?log0.5Sn?2?log0.5Sn?1.
2
例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
(x?1)2(y?3)2??1，解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为
ab2bcb2?a25a2一条渐近线的斜率为?2， ∴ b=2.∴ e????5.
aaa5 （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为此时e?a?2，b5. 25. 2 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5或评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
例7．解关于x的不等式 5解:原不等式 ?5
a(1?x)?1x?2a(1?x)?1x?2?1.(黄冈2010，二模 理科）
?50
?a(1?x)(1?a)x?a?2?1?0??0?(x?2)[(1?a)x?(2?a)]?0
x?2x?2
?1?a?0?1?a?0?1?a?0?? ?(1)?或(2)?或(3)?2?a2?a)?0)?0?(x?2)(1?2)?0?(x?2)(x??(x?2)(x?1?a1?a?? 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞). 由(2)a<1时，
2?a?0，下面分为三种情况. 1?a?a?1?a?12?a?). ①?2?a 即a<1时，解为(2,??1?a?2?a?0??1?a?a?1?a?1? ②?2?a???a?0时，解为?.
?2?a?0??1?a?a?1
?a?12?a?
,2). ③ ?2?a ? ? 即0
?1?a
2?a 由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况.
1?a 5