sin(???)?5cos(2???)5 （2）1+cos2?-sin2?.
3??23sin(??)?cos(??)22解：由已知：-sin?=2cos?，有 tg?=-2, 则
?sin??5cos??tg??57（1）原式===-。
5?3cos??sin??3?tg?52
（2）1+cos?-sin2?
255sin2??2cos2??sin2?tg2??2??2tg?22== 222sin??cos?tg??1（1）
(?2)2?2?5(?2)16==. 25(?2)?1asin??bcos?评述：对于形如为关于sin?与cos?的一次分式齐次式，处理的方法，
csin??dcos?52
就是将分子与分母同除以cos?，即可化为只含tg?的式子。而对于1+cos?-sin2?属于
222
关于sin?与cos?的二次齐次式。即sin?+2cos?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用22
sin?+cos?表示的话，这样就构成了关于sin?与cos?的二次分式齐次式，分子分母同除以2
cos?即可化为只含有tg?的分式形式。
例7．求函数y=25?x2+logsinx(2sinx-1)的定义域。(黄冈，二模 理科）
??25?x?0??5?x?5???5???sinx?0(k?Z) 解：使函数有意义的不等式为：? ? ?2k???x?2k??66??sinx?1???2sinx?1?0?x?2k??(k?Z)?2?将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x?[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即
2∴因此函数的定义域为：
3?3?7????5?)∪(-,-)∪(,)∪(,)。
2266226sec??tg??11?sin?例8．求证：=.
sec??tg??1cos?[-5,-证法一（左边化弦后再证等价命题） 1sin???11?sin??cos?左边=cos?cos?=
1sin???11?sin??cos?cos?cos?要证
1?sin??cos?1?sin?=
1?sin??cos?cos?只需证：(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?)
2
左边=cos?+sin?cos?+cos?
16
右边=1-sin?+cos?+cos?sin?=cos?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。 或证等价命题：
22
1?sin??cos?1?sin?-=0
1?sin??cos?cos?证法二（利用化“1”的技巧）
sec??tg??(sec2??tg2?)左边=
sec??tg??1=
?sec??tg??(1?sec??tg?)=sec?+tg?=1?sin?=右边。
sec??tg??1cos?证法三（利用同角关系及比例的性质）
22
由公式 sec?-tg?=1
?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1
1sec??tg??=.
sec??tg?1sec??tg??11?sin?=sec?+tg?=.
1?sec??tg?cos?证法四（利用三角函数定义）
yyrx证sec?=, tg?=, sin?=, cos?=.
xrxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0
A(3)A=B?=1 (B?0)
BAC(4)=? AD=BC (BD?0)
BD(5)比例：一些性质，如等比定理：
aa?a2???ana1a2aaa若1=2=??=n，则1===??=n。 b1b2bnb1?b2???bnb1b2bn由等比定理有：
1．如果?是第二象限角，则限
2．在下列表示中正确的是（ ） A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+
?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象
?2, k?Z}
B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+C、与(-
?43, k?Z} , k?Z}
?3)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-
?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-3．若?
?4, k?Z}
3logsin??, 则22等于（ ） 217
A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc? 4．函数y=2sin(
x??)在[?，2?]上的最小值是（ ） 26A、2 B、1 C、-1 D、-2 5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6．设0 ?4，下列关系中正确的是（ ） A、sin(sinx) ?3?4=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ） 5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） 11?1A、sin B、 C、 D、2sin 1226sin22k?16?+?) (k?Z), 结果是（ ） 72??6??A、tg B、ctg C、ctg D、-tg 77779．化简三角函数式tg(10．设??(0, ?2)，A??cos???sin?，B??sec??tg?的大小是（ ） A、A>B B、A≥B C、A 答案: B B D C D A D C B C 5正、余弦函数的有界性之解题作用 正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。 例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。(黄冈，二模 理科） 解：原方程可化为sin??3?log2x， 2 18 因为?1?sin??1，所以?1?3?log2x?1， 2所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。 例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， 于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2 ?4。故?ABC为等腰直角三角形。 2例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?CAC3?sin2?sin2? 3324A?C1?2A?1?2C?3??1?cos???1?cos?? 32?3?2?3?4所以cos?由于cos2A?CA?C1?A?C?cos??0 ??cos3334??A?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1???所以?cos???0，但?cos???0， 3232????A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。 所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a?6b?3，求证：对于任意x???1,1?，有 22f?x??2。 证明：因为2a?6b?3，所以?22?2???3a????2?2b?2?1。 令 221cos? a?sin?，2b?cos?，则a?sin?，b?33219 所以f?x??31sin?x?cos??22?3x2?11?sin????????arctg??? 23x??3x2?13x2?1从而f?x?? sin??????22又x?1，故f?x??例5．证明：1?证明：设 23x?122?4?2 234sin??cos??2。 34sin??cos??k，则只须证明1?k?2。 因为k?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2???sin??cos??2?2sin2? 2sin2? 2因为0?sin2??1，所以1?k?从而1?k?2。故1?342?2?22， cos??2。 34sin??例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。 解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0， 所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k2??k?2??2k?k?2?cos????? 2由题设知k?0，k?2， 2?k?2??k2?13所以cos????????（＊） ?1?22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?32?k?1??22?0， 20