?a?1?a?1? ①?2?a ? a不存在. ???2?a?0?1?a??a?1?a?12?a?)?(2,??). ② ?2?a???当a>1时，原不等式的解为:(??,1?a?2?a?0??1?a综上:
a=1时，x∈(2,+∞). a<1时，x∈(2, a=0时，x??.
2?a) 1?a2?a,2) 1?a2?a)?(2,??). a>1时，x∈(??,1?a 0
评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 0
1:明确讨论的对象，确定对象的全体； 0
2:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 0
3:逐步进行讨论，获得结段性结记； 0
4:归纳总结，综合结记.
课后练习:
1．解不等式logx(5x2?8x?3)?2 2．解不等式|log1x|?|log1(3?x)|?1
233．已知关于x的不等式
ax?5?0的解集为M.
x2?a（1）当a=4时，求集合M:
（2）若3?M，求实数a的取值范围.
2
4．在x0y平面上给定曲线y=2x, 设点A坐标为(a,0), a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1325392.[，]
44（，）?（，??）1.
32（??，2）?（，2）3. (1) M为 53??2a?1当a?1时4. d?f(a)??.
?当a?1时?|a| (2)a?(??,)?(9,??)
6
542高三数学函数重点题型分析
复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
主要内容：
（一）基本问题 1.定义域 2.对应法则 3.值域 4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性） 7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 （二）基本问题中的易错点及基本方法 1．集合与映射
<1>认清集合中的代表元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。 <2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。 <4>方程，不等式问题先确定定义域。 3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，??并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及f(x)?xb?形式。注意识别及应用条件。 ax<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。 易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件 5．函数的奇偶性，单调性，周期性。 关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。 <3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。 <4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。 6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。 <2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。 7．函数的图象 <1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩 易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下： 取绝对值（对称）与平移
7
例：由y?x图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1> y?|x|?1 <2>y?|x?1| 分析：<1> y?x?x?1x?|x|x?????y?x?1?????y?|x|?1.
平移对称 <2> y?评述：要由y?x?|x|x?x?1x?????y?|x|?????y?|x?1|.
对称x得到y?|x|?1只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。
-1
例：y=f(x+3)的反函数与y=f(x+3)是否相同？
??f(x?3)的反函数。 分析：①y?f(x)????y?f(x?3)????平移对称x?x?3(x,y)?(y,x)??y?f ②y?f(x)??????对称(x,y)?(y,x)?x?3?1(x)?x?????f?1(x?3).
平移 ∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。） （三）重点题型例题：
例1．判断函数f(x)?(1?tgx?tg)?sinx的奇偶性及周期性。
x2??x?k???x?2k?????2?2??分析：<1>定义域：??(k?Z)
x?k???x?k????2??2? ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图： 又f(x)?(1?tgx?1?cosx)sinx?tgx sinx ∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期?的奇函数。
评述：研究性质时关注定义域。
例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且f(x?3)??1，又当x∈[-3,-2]时，f(x)f(x)=2x，求f(113.5)的值。
<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
1 f(x)1?f(x)， ∴ f(x)周期T=6， ∴ f(x?6)??f(x?3)解：<1>∵ f(x?3)?? ∴ f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5). 当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x. ∴ f(x+3)=-2(x+3).
8
11, ?f(x?3)2(x?3)111 ∴ f(?)??.
1252?(??3)2 ∴ f(x)?? <2>（法1）（从解析式入手） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.
∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. ∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).
小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 （法2）（图象） f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1. x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注：从图象入手也可解决，且较直观。
2
例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1) 2 <2>已知二次函数f(x)=x+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。 2 分析：<1>设 y1=(x-1), y2=logax x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图： ∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2]. 小结：①数形结合 ②变化的观点 ③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。 <2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t) 2 ∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x+4x+5. 2 ∴ f(x)=(x+2)+1, 动区间：[m,0], ∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1, ∴ m∈[-4,0]. 小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。 例4．已知函数f(x)?logax?5,(a?0且a?1).(黄冈2011，二模 理科） x?5 (I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。 (II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。 分析：(I)任取x1 又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0 0?(x1?5)(x2?5)?1, (x1?5)(x2?5) ∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当00,∴f(x)单调递减。 9 (II)若f(x)=g(x)有实根，即：logax?5?1?loga(x?3)。 x?5?x?5?0? ∴ ?x?5?x?5. ??x?3?0x?5?a(x?3)有大于5的实根。 ∴ 即方程： x?5x?5(x?5) （法1）a? （∵ x>5） ?(x?3)(x?5)(x?5?2)(x?5?10) ?x?5?2(x?5)?12(x?5)?20 ∴ a?(0,1(x?5)?20?12(x?5)?112?220?3?5 163?5]. 16x?5?a(x?3)(1)有大于5的实根， （法2）（实根分布） x?5 方程(1)化为：ax+(2a-1)x-15a+5=0. 2 ∵ a>0, ∴Δ=64a-24a+1≥0. 2 ???5 ①有一根大于5 ???. f(5)?0?????0?3?5?a?(0,]. ②两根均大于?f(5)?016?1?2a??5?2a 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。 小结： 函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。 练习： 已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有 f(m)?f(n)?0。 m?n<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。 2 <2>若f(x)≤t-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 参考答案： (2)|t|≥2或t=0. 10