＝?＝(b1)
2n?112n?1＝( ) 2
∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn
11212212312412n?11n＝ ＋( )＋( )＋[( )＋( )＋?＋( )]＝1－( ) 2222222777
由此可知，当n＜3时，Sn＜ ，当n＝3时，Sn＝ ，当n＞3时，Sn＞ ．
888又∵2
n－1
＝(1＋1)
n－1
23n－1＝1＋C1n－1＋Cn－1＋Cn－1＋??＋Cn－1
则当n≥4时，2
n－1
2＞1＋C1n－1＋Cn－1
(n－1)(n－2)
＝1＋(n－1)＋ >n＋1
212n?11n＋1∴( )<( ) 22
11212212312412n?11n∴Sn＝ ＋( )＋( )＋[( )＋( )＋?＋( )]＝1－( )
22222227由此可知，当n≥4时，Sn＞ ．
8
112122111137
当n＝3时，Sn＝ ＋( )＋( )＝ ＋ ＋ ＝ ＜ ．
22224161687
故知当n≤3 时，Sn＜ ．
8
说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用三角代换x＝asecθ，π3π－1
θ∈[0,)∪[π,) ，求函数f(x)的值域，即f(x)的定义域。
22
4an－2Ban＋C例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝ ，是否存在这样的数列{bn}，bn＝ ，
an＋1an＋A其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{an}的
取值范围。
解：假设这样的{bn}存在，则应有
4an－24B＋CC－2BB· ＋Can＋
an＋14＋A4＋ABan＋1＋C
bn＋1＝ ＝ ＝
an＋1＋A4an－2A－2
＋Aan＋an＋14＋ABan＋C
又 bn＝
an＋A
存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有
－1
31
?????
A－2
＝A (1)4＋A4B＋C
＝Bq (2) 4＋AC－2B
＝Cq (3)4＋A
由（1）可解得A＝－1或－2，由（2）、（3）可解得B＝－C或C＝－2B。
?A＝－11°若? 代入（2）知q＝1（B、C不能为0，否则bn＝0，不合题意要求）舍去。
?B＝－C?A＝－122°若? 代入（2）得q＝ 3?C＝－2B?A＝－23
3°当? 时，q＝ 2?B＝－C?A＝－2
4°当? 时，q＝1（舍去）
?C＝－2B
23
故现只取A＝－1，B＝1，C＝－2，q＝ （不必考虑q＝ 时的情况，因为只证存在性）。
32an－2
得bn＝ an－1
所以满足题设条件的数列存在。
对于{an}的取值范围，我们可以这样解. 4an－2
∵an＋1－an＝ －an
an＋1
(an－2)(an－1)＝－ ，a1＝4>2，故a2
(an＋1)
如果能证明所有的an都大于2，便可用数学归纳法证明{an}是单调递减的。事实上 4an－22(an－2)
∵an＋1－2＝ －2＝ an＋1an＋1
由上式，我们也可用数学归纳法由a1>2，得an>2，所以{an}单调递减。且因为an>2，所以
2(an－2)2
an－2＝ < (an－1－2)
an＋13222n－1
<( )(an－2－2)
n??说明：存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下：
a1－222n an－22n
b1＝ ＝ ，故bn＝( )∴ ＝( )
a1－133an＋13∴an＝
12n
1－()3
＋1
由此易得an∈(2，4]。
32
例14． （1）设数列{cn}，其中cn＝2＋3，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p。（2）设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列。
证明：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，故有
2
(cn＋1－pcn)＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1)
nn
将cn＝2＋3代入上式，得： n＋1n＋1nn2n＋2n＋2n＋1n＋1nnn－1n－1
[2＋3－p(2＋3)]＝[2＋3－p(2＋3)]·[2＋3－p(2＋3)]
1nn
整理得： (2－p)(3－p)·2·3＝0
6
解之得：p＝2或p＝3。
（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn。
2222222
为证{Cn}不是等比数列，只要证明c2≠c1·c3 事实上： c2＝(a1p＋b1q)＝a1p＋b1q＋2a1b1pq
22
c1c3＝(a1＋b1)(a1p＋b1q)
222222
＝a1p＋＋b1q＋a1b1(p＋q)
222
∵p≠q，∴p＋q>2pq，又a1，b1不为零，∴c2≠c1·c3，故{cn}不是等比数列。
说明： 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；
nn
推论1：设数列{cn}，cn＝a＋b且a≠b，则数列{cn＋1－pcn}为等比数列的充要条件是p＝a或p＝b。
推论2：设{an}、{bn}是两个等比数列，则数列{an＋bn}为等比数列的充要条件是，数列{an}，{bn}的公比相等。
推论3：公比为a、b的等比数列{an}，{bn}，且a≠b，s、t为不全为零的实数，cn＝san
＋tbn为等比数列的充要条件是st＝0。
例15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N(黄冈，三模 理科） （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋?＋|an|，求sn;
1
（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋?＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数m，
n(12－an)m
使得对任意n∈N，均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
32
解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?
a4－a1an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝ ＝－2
4－1－∴an＝10－2n
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5
2
∴当n≤5时，Sn＝－n＋9n
2
当n>5时，Sn＝n－9n＋40
?－n＋9n 1≤n≤5故Sn＝?2 （n∈N）
?n－9n＋40 n＞5
2
nn
11111
（3）bn＝ ＝ ＝ (－ )
n(12－an)n(2n＋2)2nn＋1
33
∴Tn＝ b1＋b2＋?＋bn
1111111111
＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋??＋( － )]＝ (1－ )＝
222334n－1n2n＋1n
2(n＋1)
n－1＞ ＞Tn－1＞Tn－2＞??＞T1. 2n
mm1
∴要使Tn> 总成立，需 323247． 7高考数学数列专项训练{黄冈题库} 一.选择题: 1．lgx，lgy，lgz成等差数列是x，y，z成等比数列的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(文)在等比数列?an?中,则a7·a11=6，a4?a14?5,则 a20=( ) a10A. 232323 B. C.或 D.?或? 323232(理)若 ?an?是等比数列,其中a3,a7是方程2x?3kx?5?0的两根,且 2(a3?a7)2?4a2a8?1,则k的值为( ) A.?282211 B.11 C.?11 D. 33333．数列?an?满足an A.?>0 B.?<0 C.?=0 D.?>-3 4．设数列1,(1+2),(1+2+2)?(1+2+2+?+2nn22n?1)的前n项和为Sn,则Sn等于( ) n?1A.2 B.2-n C.2-n D.2n?1-n-2 5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为( ) A.12P B.p 12 C.(1?p)?1 D.(1?p) 12126．在数列?an?中,已知a1?1,a2?5,an?2?an?1?an(n?N?),则a2006等于( ) A.5 B.4 C.-1 D.-4 7．(理)给出一系列碳氢化合物的分子式:C6H6,C10H8,C14H10?,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( ) 34 A.95% B.96% C.97% D.98% (文)若数列?xn?的前n项和为Sn,且loga(sn?1)?n,则数列?xn?( ) A.只能是递增的等比数列 B.只能是递减的等差数列 C.只能是递减的等比数列 D.可能是常数列 8．已知1是a与b的等比中项,又是 11a?b与的等差中项,则2的值为( ) aba?b21111A.1或-? B.1或- C.1或 D.1或 332222229．若方程x?5x?m?0与x?10x?n?0的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m：n的值为( ) A.4 B.2 C. ?511 D. 24510．等比数列?an?的首项为2,其前11项的几何平均数为2,若在这前11项中抽取一项后的几何平均数为2,则抽出的是( ) A.第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项 11．如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前n项的和为S(n),则S(16)等于( ) A.128 B.144 C.155 D.164 12．（理）在等比数列?an?中,a1?sec?(?为锐角),且前n项和Sn满足limSn?n??51,那么?的取值范围是( ) a1A.(0, ????) B.(0,) C.(0,) D.(0,) 6432（文）根据调查，预测某家电商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足Sn?n21n?n2?5??n?1,2,3,?,12?，按此预测，在本年度需求量超过1.5万件的月?90 B．6月和7月 10份是（ ） A．5月和6月 二．填空题: 2C．7月和8月 2D．8月和9月 1013．已知lgx?lgx?...?lgx?110,则lgx?lgx????lgx=_____________ 14. 设数列?an?的前n项和为Sn（n?N*）. 关于数列?an?有下列三个命题： （1）若?an?既是等差数列又是等比数列，则an?an?1(n?N*)； （2）若Sn?an2?bn?a、b?R?，则?an?是等差数列； 35