解析：（1）直线l的方程化为：(x?y?4)?m(2x?y?7)?0。
因此，直线l过两条直线x?y?4?0和2x?y?7?0的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l恒过定点A（3，1）。
222 又因|AC|?(3?1)?(1?2)?5?25，
故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点；
（2）圆心为C（1，2），当直线l被圆C截得的弦长最小时，有l⊥AC，由可得k1?2，因此直线l的方程为 y?1?2(x?3)，即2x?y?5?0。
kAC??12 点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。
例4. 自点 A（－3,3）发出的光线l 射到x轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线 l 所在直线的方程。
2222x?y?4x?4y?7?0(x?2)?(y?2)?1， 解析：圆的方程可化为
由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l相切，
22 对称圆方程为(x?2)?(y?2)?1
设l的斜率为k（k必然存在）。 则l的方程y?3?k(x?3)， 即kx?y?3k?3?0
|2k?2?3k?3| 由于l与圆相切，故
k?12?1
34k??或k??43 解得
故所求直线l的方程为3x?4y?3?0或4x?3y?3?0。
点评：求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；反之，将入射光线上的点通过
反射面对称后有助于求反射光线的方程。单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。由此可以看出确定直线的方程，要充分挖掘所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。
例5. 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a , b 的值。
（1） l1⊥l2，且 l1 过点（－3，－1）；
（2）l1 ∥ l2且坐标原点到这两条直线的距离相等。 解析：（1）由已知可得l2的斜率必存在， ∴k2?1?a
若k2?0，则1?a?0，a?1
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0 又∵l1过（－3，－1）
∴?3a?b?4?0，即b?3a?4（不合题意）。 ∴此种情况不存在，即k2≠0 若k2≠0，即k1、k2都存在，
∵
k2?1?a，k1?a，l1⊥l2b，
ak1·k2??1，即(1?a)??1b ∴ ①
又∵l1过点（－3，－1）， ∴?3a?b?4?0 ②
由①②联立，解得a＝2，b＝2。 （2）∵l2的斜率也存在，l1∥l2 ∴直线l1的斜率也存在，
∴
k1?k2，即a?1?ab ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等且l1∥l2， ∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数。
4?bb 即 ④
2??a?2?a?，或?3?b??2???b?2 由③④联立解得
2 ∴a、b的值为2和－2或3和2。
点评： 当所求直线的方程中存在字母系数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1），若用 l1⊥l2?A1A2＋B1B2=0可不用分类讨论。
例6. 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B。
（1）求直线PA、PB的方程； （2）求过P点的圆的切线长； （3）求直线 AB 的方程。
解析：（1）如图所示，设过P点的圆的切线方程为y?1?k(x?2)，
即kx?y?2k?1?0
∵圆心（1，2）到直线的距离为2。
|?k?3| 即1?k2?2
2 ∴k?6k?7?0
∴k?7或k??1
∴所求的切线方程为y?1?7(x?2)或y?1??(x?2)，
即7x?y?15?0或x?y?1?0； （2）在Rt△PCA中，
222 |PA|?|PC|?|CA|?8
∴过P点的圆C的切线长为22；
?7x?y?15?0，A(12，9)?22(x?1)?(y?2)?255 （3）由?得
?x?y?1?0?22(x?1)?(y?2)?2 得B（0，1） 由? ∴直线AB的方程是x?3y?3?0。
点评：①过圆外一点作圆的切线必有两条，在求圆的切线方程时，有时会遇到切线
斜率不存在的情况，如过圆x2＋y2=4外一点（2,3）作圆的切线，切线方程为5x－12y＋26=0，此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。
②本例（3）中直线AB的方程是通过求切点A、B的坐标写出来的。事实上，过圆（x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0）作圆的切线，经过两切点的直线方程为（x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b）=r2。其证明思路有三：
思路一：设切点A(x1,y1),B(x2,y2），P点坐标满足切线PA、PB的方程，从而得出过A、B两点的直线方程。
思路二：直线AB是以PC(C是已知圆的圆心）为直径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。
思路三：直线AB是以P为圆心，以PA为半径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。 它的形式与P点在圆上时，过P点的切线方程形式完全相同，它可以作为一个公式，在解有关的选择题、填空题时直接使用。
【模拟试题】
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 经过点A（3，－3），圆心在B（8，－3）的圆的方程为（ ）
22 A. (x?8)?(y?3)?25 22(x?8)?(y?3)?25 B.
22(x?8)?(y?3)?25 C.
22 D. (x?8)?(y?3)?25
2. 圆(x?1)?y?1的圆心到直线
22y?33x的距离是（ ）
1 A. 2
3B. 3
C. 1
D. 3
3. 设集合
A?{(x，y)|y?3?2，x，y?R}x?1，
B?{(x，y)|4x?ay?16?0，x，y?R}，若A?B??，则a的值为（ ） A. 4
B. －2
C. 4或－2
D. 2或－4
22x?y?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）所表示的曲线关于 4. 如果方程
y?x对称，则必有（ ） A. D＝E
B. D＝F
C. E＝F
D. D＝E＝F
5. 已知两条直线l1：mx?y?2?0和l2：(m?2)x?3y?4?0与坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值是（ ）
A. 1或－3 B. －1或3
1 C. 2或2
?
1D. 2或－2
6. 过点（2，1）作直线l，使A（1，1），B（3，5）两点到l的距离相等，则直线l的方程是（ ） A. 2x?y?3?0 C. 2x?y?3?0
B. x?2 D. 以上都不对
7. 直线
y?3x223绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x?2)?y?3的
位置关系是（ ） A. 直线过圆心
B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切
D. 直线与圆无公共点
8. 若直线l与直线x?3y?10?0交于M点，与直线2x?y?8?0交于N点，MN的中点为P（0，1），则直线l的方程是（ ） A. x?4y?4?0 C. x?4y?4?0
B. 4x?y?4?0 D. x?4y?4?0
22x?y?1上的点到直线3x?4y?25?0的距离的最小值是（ ） 9. 圆