习题2作业讲评
1. 继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式
d?0.75v?0.082678v2，速度单位为m/s，距离单位为m）
解答
（1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：
D ～ 前后车距（m）；v ～ 车速（m/s）；
于是“两秒准则”的数学模型为D?K2v?2v. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.
2比较d?0.75v?0.082678v与D?2v，得：
d?D??0.082678v?1.25?v
所以当v?15.12 m/s（约合54.43 km/h）时，有d
另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.
v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2;
plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on
plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2)
title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v（m/s）') ylabel('距离（m）') hold off
比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则180160140120两秒准则刹车距离理论值刹车距离的最小值、平均值和最大值 距离（m）100806040200 0510152025车速v（m/s）303540
图1
（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）——后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.
表1 尾随时间 车速(mph) 车速(m/s) 最大刹车距离(m) 尾随时间(s) 20 8.9408 13.411 1.5 25 11.176 17.831 1.5955 30 13.411 23.774 1.7727 35 15.646 29.413 1.8799 40 17.882 37.795 2.1136 45 20.117 46.482 2.3106 50 22.352 56.693 2.5364 55 24.587 68.732 2.7955 60 26.822 81.686 3.0455 65 29.058 96.469 3.3199 70 31.293 113.39 3.6234 75 33.528 132.74 3.9591 80 35.763 154.23 4.3125 表2 t秒准则 车速(mph) 0～10 10～35 35～60 60～75 t (s) 1 2 3 4 绘制图2的MATLAB程序： v=(20:5:80).*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;
k1=0.75; k2=0.082678; d=d2+[v;v;v].*k1; vi=0:40;
plot([0,10*0.44704],[0,10*0.44704],'k',... vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,'k:',... [v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) legend('t 秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)
hold on
plot([10,35]*0.44704,2*[10,35]*0.44704,'k',... [35,60]*0.44704,3*[35,60]*0.44704,'k',... [60,75]*0.44704,4*[60,75]*0.44704,'k') title('t 秒准则，刹车距离的模型和数据') xlabel('车速v（m/s）') ylabel('距离（m）') hold off
t 秒准则，刹车距离的模型和数据180160140120距离（m） t 秒准则刹车距离理论值刹车距离的最小值、平均值和最大值100806040200 0510152025车速v（m/s）303540
图2
4. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为
p(t)?p(0)?gt?ht2 (1)
其中h为价格的平稳率，取h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.
（1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；
（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润； （3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；
（4）讨论模型关于价格假设的强健性. 解答一（用MATLAB数值计算）
（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足p?(0)??g，在最佳出售时机附近误差微小（图4）. 绘图的程序
p=@(t)12-0.08*t+0.0002*t.^2; figure(1) n=400;
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k') axis([0,400,0,20])
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t（天）')
ylabel('p（元/公斤） ') figure(2) n=20;
plot([0,n],[12,12-0.08*n],'k:',... 0:.1:n,p(0:.1:n),'k')
title('模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较')
legend('p(0) - g t (1)式',... 'p(0) - g t + h t^2 (2.3.1)式') xlabel('t（天）'), ylabel('p（元/公斤） ')