目录
1 摘要..........................................................................................................................1 2 前言..........................................................................................................................1 3 一元函数极限的定义及定义 ................................................................................. 1
3.1 x趋于?时函数的极限概念 .......................................................................... 2 3.2函数极限的?-?定义的定义 .......................................................................... 2 4 方法、技巧与典型例题 ......................................................................................... 3
4.1 利用极限的定义验证极限 ............................................................................. 3 4.2 利用极限的四则运算求极限 ......................................................................... 4
4.2.1
直接运用法则 .......................................................................................... 5
4.2.2 间接运用法则 .......................................................................................... 5
4.3利用迫敛准则求函数极限 .............................................................................. 7 4.4 利用左右极限求函数极限 ............................................................................. 8 4.5 利用两个重要极限公式求函数极限 ............................................................. 8 4.6 利用无穷小量的性质求函数极限 ............................................................... 10 4.7 利用替换法求函数极限 ............................................................................... 10
4.7.1
4.7.2
利用变量代换法求函数极限 ................................................................ 10 利用等价无穷小量求函数极限 ............................................................ 10
4.8 利用洛必达法则求函数极限 ....................................................................... 12 4.9 利用导数的定义求函数极限 ....................................................................... 13 4.10 利用定积分的定义验证极限 ..................................................................... 14 4.11 利用麦克劳林展式求函数极限 .................................................................. 14 4.12 利用微分中值定理求函数极限 ................................................................. 16 4.13利用积分中值定理求函数极限 .................................................................. 16 4.14 利用级数的必要条件求函数极限 ............................................................. 17 5 结束语……………………………………………………………………………17 参考文献 ..................................................................................................................... 18
1
一元函数极限的若干求法
作者 吴剑颜 指导老师 吴勇旗
（湛江师范学院数学与计算科学学院 湛江 524048）
摘 要：一元函数极限的计算是“数学分析”的基础，必须掌握其各种极限的求法才能熟练准确地计算各种极限，本文主要讲述一元函数极限的不同求法。本文在某些具体求解方法中就要注意的细节和技巧做了说明，以便我们了解函数的各种极限，这样才能达到事半功的效果. 关键词：一元函数；极限；求法
A function of several
Author Wu Jianyan Instructor Wu Yongqi
Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang,
524048 Abstract: A function of the calculation of limit is the basis of “mathematical analysis”.Must be to master the method to get its various limit accurately calculate various limits, this article mianly tells a function limits of different calculation methods.This article in some concrete solving method must pay attention to details and skills,so that we can understand the function of all kinds of limits, in this way can we achieve twice the result with half the effort.
Key words: Function of one variable; Limitation; Method for evaluating
2 前言
一元函数极限的计算在数学分析中占据着重要的地位，根据此重要性，本文详细介绍了求一元函数极限的若干求法，例如：定义法、四则运算法则法、迫敛法、洛必达法则法、左右极限法、麦克劳林展式法等。除此之外，还对要注意的地方做了详细介绍，希望对求解一元函数极限有所帮助。
在研究一元函数极限的解法之前，首先我们要清楚一元函数极限的定义，这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.
3 一元函数极限的定义及分类
2
由于x趋于不同时函数极限的定义不同，下面我们主要介绍三种定义.
3.1定义1（x趋于?时函数的极限）
设f为定义在?a,???上的函数，A为定数.若对任给?>0，存在正数M??a?，使得x>M时有
f?x??A
x???A的任意小领域内必含有f在这里，当x???时函数f以A为极限意味着：
在??的某领域内的全部函数值.
3.2定义2（函数极限的?-?定义）
设函数f在点x0的某个空心领域U0?x;??内有定义，A为定数.若对任给的
00，使得当0 f?x??A 则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf?x??A 或 x?x0f?x??A?x?x0? 4 求一元函数极限的方法、技巧与典型例题分析 4.1 用极限定义证明极限 用极限定义证明极限，在x?x0时，??>0，要找出对应的?；在x??时，要找出对应的M.一般的方法是：将f?x??A经变形、放大，得到x?x0 x>M.在变形时大多是改变f?x?的形式，但有时也可以改变A的形式来实现. 例1 证明：若limf?x??A，且f?x?>0?A?0?，则 x?x0 limf?x??A. x?x0证：分两种情形. 3 当A?0时，若limf?x??0，取??>0，??>0，对任意满意0 x?x0有f?x? limx?x0f?x? f?x??0. x?x0当A>0时，若limf?x??A，即??>0，??>0，对任意满足0 f?x??A?f?x??Af?x??Ax?x0?11?. f?x??A 有时，在将f?x??A变形时，不仅得到x?x0因式，而且还得到含x的其它因式.这时，我们要利用x?x0这一条件，限定x的取值范围，得出x?x0 例2 证明：lim证： 因为 161?x?1?x77716x2?9?1??1?， ?1?22????16x?94x?34x?316x2?9716x?9?x?17?1. 16x2?9????设x?1<1，即0 11 1- 881.再设x?1<，即 3?4x?34816?31-x ??1?,?，则当x?10，取?=min??328?7?1 16x2?9 limx?17?. 116x2?92x2?1?2. 例3 按定义验证lim2x??x?32x2?17证：因为??>0，要找到M>0，使x>M时，有2 而当x>3时，x2?3>x，故要 77< 7?7?.故??>0，取M=max?3,?，当x>M时，有 ????2x2-1 2-2 x-2于是 lim2x2?1x?32x???2. 4.2 数列极限的四则运算法则 若极限limf?x?和limg?x?都存在，则函数f?g，f?g在x?x0时极限也 x?x0x?x0存在，且 1) lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x? x?x0x?x0x?x02) lim?f?x?g?x???limf?x??g?x?； x?x0x?x0 3） limx?x0f?x??limf?x?limg?x?. x?x0g?x?x?x0极限四则运算法则的条件是充分非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则的条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则求之；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之. 4.2.1 直接运用法则 x2?1例4 求lim2. x?02x?x?1解： limx?10-1x?0x?0=??1 2x?02x2?x?1lim2x?limx?lim10-0-1x?0x?0x?02limx2?lim14.2.2 间接运用法则 5