?=limt?0?1?t?1?t??31?t?1?
t2=lim?t?0t?1?t?1??lim?t?0t?3?1?t??3?1?t??1?
111=-= 2364.7.2利用等价无穷小量替换
il定理 ：设f,f1,g,g1，是某一变化过程中的无穷小量，且f,f1,g,g1，若mfg存在，则limff?lim1 gg1常见的等价无穷小量
x?x x?0时： sin
例15 求limtanx?x ln?1?x??x
arctaxn?x
arcsixn?xe?1?xx1?coxs
ax?1?xlna
tanx?sinx 3x?0sinxsinx?1?cosx?， 而 解：由于tanx?sinx?cosx
x2sinx?x?x??01-cosx??x?0?,sinx3?x3?x?0?，
2 故有
tanx?sinx1x?x31?lim?3? lim3x?0x?0sinxcosxx2在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相
11
除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换，否则，将导致出错误的结果，例如例15，若因为有
而推出
tanx?x?x??0,si?xn?x?x?， 0tanx?sinxx?x?lim?0， lim33x?0x?0sinxsinx则得到的是错误的结果.
4.8 利用洛必达法则求函数极限
函数f?x?和g?x?满足：
?x?x0limf?x??limg?x???为了下文叙述方便把两个无穷小量或两个无穷大量之比?x?x00?的极限统称为不定式极限，记作：型或型
0?0定理（型）：若函数f?x? 和g?x?满足：
0（1）limf?x??limg?x??0
x?x0x?x0（2）在点x0的空心领域U0?x0?内两者都可得，且g??x??0 （3）limf?x?g?x?f??x??A （A可为实数，也可为??或?），则g??x?x?x0x?x0lim?limx?x0f??x??A g??x?（1）定理 （
?型）：若 ?（2）在x0的某右领域U0??x0?内两者都可导，且g??x??0
f??x??A （A可为实数，也可为??或?），则（3）lim+x?x0g??x?x?x0lim+f?x?g?x??lim+x?x0f??x??A g??x? 4.8.1 对于
?0型或型直接运用法则 ?012
对于0??型，?-?型要通过变形为
?0型或型，再使用法则，对于1?，00，?0?0f??x??00型要先取对数变形为0??型，然后再化为型或型等等.如果lim仍是
x?x0g??x??00型不定式极限，只要有可能，则再次用洛必达法则，即考察limx?x0f??x?极限是否g??x?存在，此时f??x?和g??x?在x0的某领域内必须满足定理4的条件.
对于不是
?0型或型时，则通过结合代数运算，等价无穷小代换，重要极限?0等方法，尽力使运算简化.
洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限工具.当满足条件时，所求极限存在，但当条件不满足时，不应当使用这一工具，但这并不等价于极限不存在，因此，必须辩证地理解商式的分子和分母.
例16 lim?x?0x1?ex
0解：这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解.但若做适当变换，
0在计算上可方便些.为此，令t?x，当x?0?时有t?0?，于是有
xt1?lim?lim?? limtt??x?0?1?ext?0t?01?e?eex例17 求 lim3
x???x1解：这是
?型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解. ?exexexex?lim??? lim3?lim2?limx???xx???3xx???6xx???6不能对任何比式极限都按比式洛必达法则求解.首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件.
下面这个简单的极限
x?sinx lim? 1x???x?虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则的其他条件：
?
13
x?sinx?1cxos lim， ?limx???x???x1就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.
4.9 利用导数的定义求函数极限
导数的定义：设函数y?f?x?在点x0的某空心领域内有定义，若极限
limf?x??f?x0?x?x0x?x0存在，则称函数f?x?在x0处可导，即为
?f??x0??limx?0x?x0limf?x??f?x0?x?x0f?x0?x??f?x0?x
次方法可常常求自变量趋于零的极限，多用于求抽象函数的极限.
例18 设f??x0?存在，求极限limx?0f?x0?2x??f?x0?x
f?x0?x??f?x0?x解： 因为f??x0?存在，由导数的定义知f??x0??limx?0，
故 limx?0f?x0?2x??f?x0?x=limx?0f?x0?2x??f?x0??2x???2??2f??x0?
4.10 利用定积分的定义求函数极限
由定积分的定义我们知道，若f?x?在?a,b?上可积，则可对?a,b?用某种特定的分法，并取其特殊的点，所得积分和的极限就是f?x?在?a,b?上的定积分.所以，若要利用定积分求极限，其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.
?111?例19 求limn? ??…+222?n???n?n?????n?1??n?2??解： 记f?x??1?1?x?2,x??0,1?，则f?x?在?0,1?上连续，所以可积，取
n?i?12 T=?0，,,…，?,?i?xi???i,i?1,2,…，n
n?n?nn 14
??1?x?01dx2?lim?T?0i?1n1n1 f??i??xi?lim?2n??ni?i?1?1????n??111=limn???…+22n??n?1n?2?????n?n???
11?1?1=-????1???0??1+x2?2???2??
4.11泰勒公式的等价代换—麦克劳林展式
泰勒定理：若函数f?x?在x0存在n阶导数，则?x?U0?x0?，
n 有f?x??Tn?x?????x?x0??——（1）
??f?f??f??2n 其中Tn?x??f?x0???x?x0???x?x0??…+?x?x0?
1！2!n！nnn Rn?x?????x?x0??，即Rn?x?是?x?x0?的高阶无穷小.（1）式称为f?x???在x0处展开的泰勒公式.
当x0?0（函数f?x?在0处存在的n阶导数），（1）式可化为： f?x??f?0??式.
几个常用的超越麦克劳林公式
x2xn（1）e?1?x??…+???xn?；
2!n!xf??0?1!x?…+f?n?n!?0?xn???x? 此式被称为麦克劳林公
nx3x5x2m?1m?1???x2m?； （2）sinx?x???…+??1?3!5!?2m?1?!2mx2x4mx???x2m?； （3）cosx?1?++ +??1?2!4!?2m?!nx2x3n?1x???xn?； （4）ln?1?x??x??+…+??1?23n 15