4.2.1.1约分法
x2?1例5 求lim2.
x?12x?x?1x2?1分析：由于当x?1时，x?1?0,2x?x?1?0.因此，lim2不符
x?12x?x?122合四则运算法则条件，需进行恒等变形：即消去当x?1时，分子、分母为0 的因子x?1后方可利用极限四则运算法则求之.
x?1??x?1??x2?1x?1??解：当x?1?0时，有2，所以
2x?x?1?x?1??2x?1?2x?1x2?1lim2x?12x?x?1?x?1??x?1?
?limx?1?x?1??2x?1??limx?12?x?12x?134.2.1.2 通分法
3??1?3? 例6 求lim?x??1x?1x?1??分析：当x??1时，
3?13?1?3?不符??,3??，因此，lim?x??1x?1x?1?x?1x?1?合四则运算法则条件，需要进行恒等变形再求之.
3??1?3? 解：lim?x??1x?1x?1??x2?x?1?3?limx??1x3?1?x?1??x?2??limx??1x?1x2?x?1 ????x?2x??1x2?x?1??1?lim
4.2.1.3 根式有理化：分子或分母有理化
6
a2?x?a例7 求lim（a>0）
x?0xa2?x?a分析：当x?0时，分子a?x?0，分母x?0 ，因此lim不x?0x2符合四则运算法则条件，需进行恒等变形求之.
a2?x?a解： lim
x?0x?=limx?0a2?x?ax????a2?x?aa2?x?a???limx?0x?2xa2?x?a1 ?limx?0?a?x?a1
a2?0?a1?2a4.2.1.4 分子分母同除x的最高次项或根据下列结论求之
?an?b,m等于nm?anxn?an?1xn?1?…+a1x?a0?lim??0，n小于m m?1x??bxm?b?…?b1x1?b0?mm?1x?，n大于m???例8 求limx???x?1?x. x解： x???，分子各项中最高项次数为 lim对形如limf?x?g?x?1，由系数比，得 2x???x?1?x?1 xx??，其中f?x?，g?x?是多项式型的，且g?x??0，可以用分
1?0，可求得x??xk子、分母同除以f?x?,g?x?中x的最高次项的方法，再利用lim 7
最终结果.
4.3 迫敛准则
设limf?x??limg?x??A，且在某U0?x0;???内有f?x??h?x??g?x?，则
x?xox?x0x?x0limh?x??A
例9 求limx?cosx
x???x?xxsinxx ??222x?4x?4x?4解： 因x趋于正无穷，当x>2时
limx2??1?lim?????0 2x??x2?4x????x?2x?4? lim由迫敛性得 limx2??1?lim????0 2x???x2?4x???x?2x?4??x?cosx=0
x???x4.4 利用左右极限求函数极限
4.4.1函数极限的单侧极限定义
0?x0;???(或U?0?x0;???）内有定义，A为定数.若对任给的?>0，设函数f在U?存在正数?（
f?x??A
??则称数A为函数f当x趋于x0（或x0）时的右（左）极限，记作
f?x??A? lim?f?x??A ??xlim? ?x?x0??x0?或
?? ?f?x??A?x?x0???. f?x??A?x?x0右极限与左极限统称为单侧极限.f在点x0的右极限与左极限又分别记为 f?x0?0??limf?x? 与 f?x0?0??limf?x?.
x?x0x?x0
8
函数f?x?在x0极限存在的充分必要是
x?x0limf?x??A?limf?x??limf?x??A ??x?x0x?x01??2aa例10 求lim??arctan? x?a3?x?a??解： a?0时，讨论左、右极限.因为
?2aa lim??x?a??3??2aa lim??x?a??3?1?2aa?a7， arctan?????x?a?3?261?2aa???aarctan???????，
x?a?3??26?左、右极限存在，但不相等，所以 lim不存在
1??2aa a?0时，显然有lim??arctan??0 x?ax?a??3?2aa1?arctan?a?0? 3?x?a4.5 利用两个重要极限公式求函数极限
sinx?1
x?0xsinx例11 limn?N?? ?x?n?x?nx1 lim解： 令t?x?n?，则x?n??t，于是 原式=
??1?limt?0xnsintt???1?.
n1x?1?2 lim?1???e lim?1x??e ?x??x?0?x?1x?1?x?例12 lim?? x?01?x?? 9
1?1??x???2?1??2???1?x??1?x?x??1?lim?????lim? x?0解： x?0?11?x????1?x?????1??x???????e2?1?e224.6 利用无穷小量的性质求函数的极限
相关性质：（1）设f?x?在某Ux?x0时的无穷小量.
0?x?内有定义.若limf?x??0，则称f?x?为当
0x?x0（2）有限个无穷小量的代数和为无穷小量. （3）有限个无穷小量的差为无穷小量. （4）有限个无穷小量的乘积为无穷小量. （5）有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量. （6）无穷大量的倒数是无穷小量. 例13 求limsinx
x??xx??分析：因为limsinx不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.
11xs，因为当inx??时，?0，即是当x??时
xxsinx的无穷小，而sinx?1，即sinx是有界函数，由无穷小量的性质得lim?0
x??xsinx1解： lim?lim?x??x??xx4.7 利用替换法求函数极限
4.7.1 用变量代换求极限
例14 求limx????x2?x?3x3?x2
?11解：令x?，则t??0?.
tx1?t?31?t=lim t?0?t 10