摘要 ................................................................................................................................................. 1 Abstract ........................................................................................................................................... 1 1.前言 .............................................................................................................................................. 1 2.预备知识 ...................................................................................................................................... 2
2.1带有Peano型余项的泰勒公式 ........................................................................................ 2 2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式 ................................................................................... 3 2.3函数的泰勒公式(或Maclaurin公式)展开 ....................................................................... 4 2.4常见的Maclaurin公式 ..................................................................................................... 5 3.泰勒（Taylor）公式的应用 ....................................................................................................... 6
3.1定义某些非初等函数 ........................................................................................................ 6 3.2利用泰勒公式求极限 ........................................................................................................ 6 3.3利用泰勒公式求高阶导数 ................................................................................................ 7 3.4泰勒公式在不等式（等式）证明中的应用 .................................................................... 8 3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计 ................................................................................ 9 3.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用 ...................................................... 10
3.6.1定理及其证明 ........................................................................................................ 10 3.6.2定理的应用 ............................................................................................................ 11 3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 .......................................................................... 12 3.8泰勒公式巧解行列式 ...................................................................................................... 12 3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解 .............................................................................. 14 4.总结 ............................................................................................................................................ 15 谢辞 ............................................................................................................................................... 16 参考文献 ....................................................................................................................................... 17
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
韩 凯
（咸阳师范学院数信学院 陕西 咸阳 712000）
摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的
精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限、近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。
关键词：泰勒公式；定积分；级数收敛；行列式。
The initial exploration of application on Taylor formula
Han Kai
(Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000)
Abstract: Taylor Formula is a very important content of mathematics analysis, it
can focally embody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects of calculus. By using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation, approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. Through studying the skills above, this paper aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.
Key words: Taylor Formula, Definite Integral, Series convergence, Determinant.
1.前言
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内陈述了他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，
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咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数，同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一公式。
2.预备知识
2.1带有Peano型余项的泰勒公式
皮亚诺型余项泰勒公式[1]，是各种形式泰勒公式中，所需要条件较少、形式简单，在处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
定理 设函数f?x? 在点xo处具有n阶导数，则有
f''(xo)fn(xo)n2f(x)?f(xo)?f(xo)'(x?xo)?(x?xo)?????(x?xo)n?0??x?xo?? (1)
??2!n!f''(xo)fn(xo)2(x?xo)?????(x?xo)n 证明：记P(x)?f(xo)?f'(xo)(x?xo)?2!n!R(x)?f(x)?P(x)
显然R?x?在xo处n阶可导，从而在xo的邻域内n?1阶可导，且有 R(xo)?R'(xo)?R''(xo)?????R(n)(xo)?0
由于R(n?1)(x)在点xo处连续，所以limR(k)(x)?0 k?0,1,???,n?1
x?xo为证（1）必须且只需证明limx?xoR(x)?0。 n(x?xo)0有前面分析知该极限为未定式，连续运用n?1次洛必达法则得
0R'(x)R(n?1)(x)lim=lim x?xo(x?x)n?1x?xon!(x?x)oo注意到R(n?1)(xo)?0，由导数定义得
R(n?1)(x)?R(n?1)(xo)R(n?1)(x)lim? lim?R(n)(xo)?0 x?xox?xox?xox?xo2
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
因此lim
x?xoR(x)?0，定理得证。 n(x?xo)注 10该定理说明当x?xo时用泰勒公式P(x)近似代替f(x)时，其误差R(x)是比
(x?xo)n高阶的无穷小。其中R(x)=o[(x?xo)n]叫做皮亚诺型余项。
20与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对f(x)的假设条件较少，只
需在点xo处n阶可导，不需n?1阶导数存在，也不需在xo的邻域内存在n阶（连续）导数，因此应用范围较广。
2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式
定理 若函数f(x)在?a,b?上存在连续n?1阶导数，则?x??a,b?，泰勒公式
f'(a)f''(a)fn(a)n2f(x)?f(a)?(x?a)??????x?a???x?a??Rn(x)（1）
1!2!n!其中
fn?1(?)n?1 Rn(x)??x?a?,???a,x?
(n?1)!称为拉格朗日余项[2]。 证明：?x??a,b?，有
?f'(a)f''(a)fn(a)n?2Rn(x)?f(x)??f(a)?(x?a)??????x?a???x?a??
1!2!n!??显然有Rn(a)=0，???，Rn(n)(a)=0，Rn(n?1)(x)= f(n?1)(x)。
若令?n(x)?(x?a)(n?1)，则有?n(a) ?0,???,?n(n?1)(a)?0 ,?n(n?1)(x)?(n?1)! 在区间?a,x?,x≤b上连续应用柯西中值定理n?1次，有
Rn(x)Rn(x)?Rn(a)R'n(?1)R'n(?1)?R'n(a)R''n(?2)= ??? ?????n(x)?n(x)??n(a)?'n(?1)?'n(?1)??'n(a)?''n(?2)?R??n(?n)?R??n(a)nn??n?n(?n)???n?n(a)??R?n?1?nn(?)(?)?n?1?
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