关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
f'(?1)??f(c)?f'(c)?x?c??a?c?2?0，这里?1??a,b?，故存在一点?1??a,b?，使(f'')?01?
2（2） 当f'(c)?0时，在（1）中取x?b，得：
f''??2?2 f(b)?f(c)?f'(c)?b?c???b?c?
2!其中?2在b与c之间,即c??2?b
因为f(b)?0，f(c)?0（已知），f'?c??0（假设），c?b由（3）式可得，
f''(?2)?0??f(c)?f'(c)?b?c??0,
?b?c?22因为?2??c,b?，而?c,b???a,b?，所以?2??c,b?，故存在一点?2??c,b?，使
'u)?0，。综上所述，无论f'?c?为正还是为负，至少存在一点u??a,b?，使f(f''(?1)?0证毕。
3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计
根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项Rn?x??f?n?1?????n?1?!?x?x0?n?1n?1，如果f???x??M , M为
一定数，则其余项不会超过的误差。
Mn?1x?x0。由此可以近似地计算某些数值并估计它们
?n?1?!例：求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。
解： 设f?x??ln?1?x?，将其在x0= 0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式
nx2x3n?1xln?1?x??x?????????1??Rn?x?
23n?1?xn?1?其中Rn?x?? ( ξn?1?n?1??1???n 在0 和x 之间)，令x?0.2 ，则0???0.2。要使
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咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
?0.2?n?1Rn?x???0.2?0.0001 ??n?1?n?1??1???则取n?5 即可。此时ln1.2 ≈ 0.2 ? 0.02 + 0.00267 ? 0.00040 + 0.00006 = 0.1823 其误差R5?0.0001。
n?13.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用
3.6.1定理及其证明
泰勒定理：若函数f?x?在点x0的邻域U?x?内有连续的n?1阶导数，则?x?U?x?，
00有f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中Rn?x??1''12nf?x0??x?x0??????f?n??x0??x?x0??Rn?x? 2!n!1x?n?1?n[8]ftx?tdt 称为积分型余项. ?????x0n!为了证明上述定理，我们先证明下面的引理.
引理：若函数U?x?，V?x?在闭区间?a,b?上存在连续的n?1 阶导数，则有
?baU?x?V??n?1?n?1?nn?1U?x?V???x??U'?x?V???x????????1??x?dx???nU?n?|b??x?V?x???a??1??baU?n?1??x?V?x?dx ?n?1,2,3??,?? ?1?
证明：10.若n?1，则有
?U?x?V?x?dx??U?x?dV?x??U?x?V?x?|??U?x?V?x?dx''''aaba''a''b''?U?x?V'?x?|b?UxVx|?U????aa??x?V?x?dx，结论成立。
abbbb20.设当n?k时结论成立，即有
?k?1??U?x?V?k??x??U'?x?V?k?1??x????????1?xVxdx??????a?bkU?k?|b?x?V?x???a???1?k?1?baU?k?1??x?V?x?dx。
30.则当n?k?1时，有
?U?x?Vab?k?2??x?dx??aU?x?Vb?k?1??x??U?x?V?x?|??aU?x?Vk?1bab'?k?1??x?dx
?U?x?V?k?1??x?|ba??U'?x?V?k??x??U''?x?V?k?1??x??????1?kU?k??x?V?x?|b???1?k?1bU?k?2??x?V?x?dx?a?a??????10
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
k?2k?2?U?x?V?k?1??x??U'?x?V?k??x????????1?k?1U?k?1??x?V?x??|b???1??U???x?V?x?dx a??ab由10，20，30可知，对所有的自然数n，?1?式成立。
下面我们用引理来证明泰勒定理。
证明：设U?t???x?t?，V?t??f?t?则由引理有
n?x?x?t?0xnf?n?1??t?dt???x?t?nf?n??t??n?x?t?n?1f?n?1??t??n?n?1??x?t?n?2f?n?2??t??????n?n?1????3?2??x?t?nf'?t??|x??x???1?n?1?nxx00?f?t?dt?n?1??x?x0?f?n??x0??n?x?x0?f?n?1??x0??????n?n?1????3?2?x?x0?f?'??x0??n!f?x??n!f?x0?从而有：
f''(xo)fn(xo)1x2f(x)?f(xo)?f(xo)(x?xo)?(x?xo)?????(x?xo)n??f?n?1??t?(x?t)ndt2!n!n!x0'泰勒公式亦可以改写为
?xx0f?n?1??f?n?(xo)1?'n(x?xo)? ?t?(x?t)dt??f?x??f?x0??f(xo)(x?xo)?????n!?n!?n3.6.2定理的应用
例1：计算?e?1?x?dx ?n?N??
x01n解：设f?x??ex，则f?n?1??x??ex，由公式有
10n?11??100?e1?xdx?n!e?e?e?1?????e?1?n!e?2???????????? ?0n!2!n!????1xn例2 计算?xm?1?x?dx
01n?xm?n?1?m!?m解：?x?1?x?dx????00m?n?1??1n1?n?1??1?x?n??m!n!m!dx?n!?? ???m?n?1?!??m?n?1?!例3 计算?baxb?x?n?2?1ndx，?n?N?? ?0?a?b?
n?11??1??n?1?!
解：设f?x??，则f?n?1??x??xxn?211
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??1??1???a?n?1?!??x?bn?1?n?1??b?x?ndx
n?111??1??12n??n!???2?b?a??3?b?a??????n?1?b?a?? n?1aa??1??n?1?!???baa?1?b?n?1?1???1??a????n?1bn?1
3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用
定理1 若un?0,vn?0且un～vn?n??? ,则?un与?vn 同敛散性。
n?1n?1??定理2 若?un条件收敛,而?vn绝对收敛,则??un?vn?条件收敛。
n??n??n??利用上述两个定理[4]和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。
???1?n?例 :判别?ln?1?p? ，?p?0? 的敛散性。 ?n?n????此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。
x21解:由泰勒公式得ln?1?x?的一阶展开式ln?1?x??x?,?在0与x之间,从
2?1???2n???1?n???1?n?1??1而ln?1?p??p?2p，?n在0 与p之间,于是 2??nnn2n?1??n??????1?n?????1?n?1ln?1?p????p?2p ?2???n?n?2?2n?1??n??n?2?n???因为?n?2???1?npn当0?p?1时条件收敛,当p?1时绝对收敛,又由0?12n2p?1??n?2~1n???知, 2p?2n?????1?n?111当p? 时，?2p收敛,当0?p?时发散。所以?ln?1?p?，当2?22n?n?2n?22n?1??n???110?p?时发散，当?p?1时条件收敛,当p?1 时绝对收敛。
223.8泰勒公式巧解行列式
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利用泰勒公式计算行列式的主要思路[9]:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。
下面通过一个例子来具体说明求解过程。 例: 求n 阶行列式的值:
acDn?cbacbba?????????bbb
???????????????ccc???a (注: 本例可利用代数知识中的递推法、数学归纳法求解; 这里介绍利用泰勒公式计算, 起到一定的简化作用。)
xbb???bcxb???b解: 把行列式Dn看作x 的函数,记Dn?x??ccx???b,
???????????????ccc???x则Dn=Dn?a?.将Dn?x?在x?b 按泰勒公式展开:
D'n?b?D''n?b?D??n?b?2nDn?x??Dn?b???x?b???x?b???????x?b?
1!2!n!nbc这里Dn?x??cbbcbbb?????????bb00b?c???0000?????????000?b?b?c?n?1bbb?c???c，下面求行列式
???????????????ccc???b?????????0???b?c函数Dn (x) 的各阶导数:
100???0xbb???bxbb???bcxb???b010???0cxb???b'Dn?x?????????nDn?1?x?
?????????????????????????????????????????????ccc???xccc???x000???1类似地:
D''n?x??nD'n?1?x?
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