咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
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D?n?n?x??nDn?1n?1?x? 递推关系还可推出:
D'n?1?x???n?1?Dn?2?x? ??????
D'2?x??2D1?x?
D'1?x??1 (因D1?x??x) 则
D'n?b??nDn?1?b??nb?b?c?n?2
n?3D''n?b??nD'n?1?b??n?n?1?Dn?2?b??n?n?1?b?b?c?
n?4D'''n?b??nD''n?1?b??n?n?1?D'n?2?b??n?n?1??n?2?b?b?c?
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D?n?1?n?b??n?n?1????2D1?b??n?n?1????2b D?n?n?b??n!
代入Dn?x? 在x?b 的泰勒展开式
Dn?x??b?b?c?n?1nb?b?c??1!n?2n?n?1?b?b?c??x?b??2!n?3?x?b?2?????n?n?1????2bn?1?x?b???x?b??n?1?!若b?c 则
Dn?x??0?0?????0?nb?x?b?n?1??x?b???x?b?nn?1??x??n?1?b??
若b?c 则
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Dn??a?b?n?1??a??n?1?b?? 当b?c时
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关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
b?a?c??c?a?b? 当b?c时 Dn?b?c结论: 只要行列式函数的各阶导数较易计算, 则应用泰勒公式计算行列式就便利。
nn3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解
微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程
y''?r(x)y'?s(x)y?0 (1)
的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解y?x?可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成为更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一个重要方法。事实上，若r?x?,s?x?在某点xo的邻域D:x?x0?R内，可以展开关于(x?x0)的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在xo的邻域D内也能展开成关于(x?x0)的泰勒级数（或幂级数），即y?x???n?0an?x?x0?。
例：解微分方程y''?xy'?y?0
解：显然r?x??x,s?x??1，可在x0?0的邻域内展开成泰勒级数，故原方程有形如
y?x???n?0anxn (2)
??n的幂级数解。
将（2）及其导数带入原方程得：?n?2n?n?1?anxn?1?x?n?1nanxn?1??n?0anxn?0 即：?2a2?a0???n?3[n?n?1?an??n?1?an?2]xn?2?0，令x的同次幂系数为零，得
????2a2?a0?0，3*2a3?a1?0，???，n?n?1?an??n?1?an?2?0(n?4)
从而a2??a0aa,a3??1,???,an??n?2。既有 23nn??1?1a2n?(?1)nna0,a2n?1?a1?n?1?
2*n!1*3????2n?1??1??1?x2??x2n?1，即 所以其通解为y?x??a0?n?0????a1?n?0n!?2?1*3????2n?1??nny?x??a0e?x22??1??a1?n?0x2n?1。 1*3????2n?1??n15
咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
4.总结
本文是在阅读大量有关泰勒公式的资料后作出的初步整理，这篇文章主要通过用比较大的篇幅和例子较系统的介绍了泰勒公式的由来、发展经过的有关知识。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。 本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限, 近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式等方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。只有了解了这些知识，在此基础上不断加强训练、不断进行总结，才能牢固掌握，才能善于熟练运用。这样的学习可使学习者养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，形成独特的解题技巧，在数学研究中取得可喜成绩。
谢 辞
通过几个月的准备, 从收集、整理到写作，通过阅读大量天线方面的书籍和资料,通过指导老师张老师一次次耐心的引导与指点，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了。回想大学期间的点点滴滴真是让人难以忘怀，感慨万分。大学四年的不懈努力让我数学有了更深一步的认识与了解。感谢大学期间所有传授我知识的老师，是她们的细心教导使我有了良好的专业课知识，这是我完成论文的基础。在此，特别向张力娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢她在我撰写论文的过程中给予我极大地帮助。张老师严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她那循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。最后感谢在大学期间给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们，有你们的支持，在以后的人生道路上我将更加自信的走好每一步。
参考文献
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