第27讲 图形的相似及位似
基础过关
一、精心选一选 1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D ) A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶5 2．(2014·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )
A．3 B．6 C．9 D．12 3．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( A )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
4．(2014·武汉)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为1位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( A )
2
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( C )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶3
6．(2013·上海)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
7．(2014·南通)如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( D )
A．1 B．2
C．122－6 D．62－6
8．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，ACBF
＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值是( C )
EF
A.2－1 B．2＋2 C.2＋1 D.2 二、细心填一填 9．(2014·邵阳)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__9__m.
11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB6＝2，CD＝3，则GH的长为____．
5,第11题图) ,第12题图)
BE312．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是____．
EC313．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方
形的面积，S2表示长是AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”)
,第13题图) ,第14题图)
14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－53)，△AB′O′是△ABO关于A的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(，
3－4)__．
15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__1.05__里．
三、用心做一做 16．(2013·南宁)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)． (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
1
解：(1)图略 (2)图略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝
4
17．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD的长．(精确到0.1 m)
解：设CD长为x m，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴6.125≈6.1，∴路灯高CD约为6.1 m
18．(2013·广东)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3, 则S1__＝__S2＋ S3；(用“>”“<”或“＝”填空)
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
BNAB1.751.25＝，即＝，解得x＝CDACxx－1.75
解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；选△BCF∽△CDE，证明：在矩形ABCD中，∠BCD
＝90°且点C在边EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE
19．(2013·莆田)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长．
解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠BD
CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝ABCDADCD
，即＝，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点 BCACAD
(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝
5－15－1
AC＝ 22
20．(2013·泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD； (2)求证：CE∥AD；
AC
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
AF
解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝AB·AD (2)∵E点为Rt△ABC斜边AB的中点，∴1
EC＝AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD (3)由CE∥AD得
2△ECF∽△DAF，∴
AC－AF3ECCF1CF3AC7
＝，EC＝AB＝3，∴＝，即＝，∴＝ ADAF2AF4AF4AF4
21．(2014·自贡)阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形