的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点 (2)如图，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点
(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，111BE3
∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30°＝，322BC3AB23
∴＝ BC3
挑战技能 22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( B )
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个
23．(2014·泰州)如图，A，B，C，D依次为一条直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°.设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关4系式为__y＝(x＞0)__．
x
24．(2014·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C4
重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝.下列结论：①△ADE∽△ACD；
5
25
②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜
2CE≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)
25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.
(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；
(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可证△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四边形BMNP是平行四边形 (2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴∴
ABAMABAM
＝，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴＝，MCMQBMMQ
ABAB
＝，∴BM＝MC MCBM
26．(2014·黄石)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM＝xAB，AN＝yAC(x，y≠0)．
(1)如图①，当△ABC为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN∽△DMA；
11
(2)如图②，证明：＋＝2.
xy
解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30°，∠ADM＝60°，∴∠AMD＝90°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝60°，∴△AMN∽△DMA
NCCF
(2)作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN，∴＝，又可证△CFD≌△BMD，
NAAMAN－ACBMAB－AMyAC－ACAB－xAB1
∴BM＝CF，∴＝＝，∴＝，∴x＋y＝2xy，∴＋ANAMAMyACxABx1
＝2 y
27．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值； (2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
BPBQ
解：(1)①当△BPQ∽△BAC时，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，
BABC5t8－4tBPBQ5t8－4t32∴＝，∴t＝1；②当△BPQ∽△BCA时，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝108BCBA8104132
1或时，△BPQ与△ABC相似 (2)过P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，则有
41PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴7
解得t＝ 8
ACCQ64t＝，∴＝，CMMP8－4t3t