1.1 平面直角坐标系
本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.
一、课前小测
?温故而知新
1．到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？
2．在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且
AC?BC?6，求顶点C的轨迹方程.
二、典型问题
?重点、难点都在这里
【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正
北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）
【问题2】：已知⊿ABC的三边a,b,c满足
b2?c2?5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中
线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.
三、技能训练
?懂了，不等于会了
4．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.
5．求直线2x?3y?5?0与曲线y?1x的交点坐标.
6．已知A（-2，0），B（2，0），则以AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹方程 是 . 7．已知A（-3，0），B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为
49，则 点M的轨迹方程是 .
1.2平面直角坐标系中的伸缩变换
【基础知识导学】
1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱
坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在
不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是
将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。 知识要点归纳
思考1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
坐标压缩变换：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1/2，得到
??'点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?x?1x?2
?
y'?y通常把
上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来 3倍，得到
?x'?x点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ??y'?3y通常把
上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，'在变换?:??x??x,(??0)的作用下，点P(x,y)
?y'??y,(y?0)对应P’(x’,y’).称?为平面直角坐标系中的
伸缩变换。
【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
将直线x?2y?2变成直线2x??y??4，
分析：设变换为??x????x,(??0),?y????y,(??0),可将其代入
第二个方程，得Y
2?x??y?4，与x?2y?2比较，将其变成2x?4y?4,比较系数得
??1,??4.
【解】(1)??x??xy??4y，直线x?2y?2图象上所
?有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x??y??4。 达标检测
A1.求下列点经过伸缩变换??x'?2x?y'?3y后的点的坐
标：
（1） （1，2）； （2） （-2，-1）
?A2．点(x,y)经过伸缩变换??x'?1x?2后的点的坐
?y'?3y标是（-2，6），则x? ，y? ； A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是
（ ）
??x'?23A.??3x?x' ???2x?3 B.????y'?y2 2y??'?3yC.?
?x'?y D.?x'?x?y'?x??1y'?y?1
?A4．将直线x?2y?2变成直线2x'?y'?4的伸缩变换是 .
B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换??x'?2x后的图形：
?y'?3y（1）2x?3y?0；
（2）
x2?y2?1. 极坐标系的的概念
学习目标
1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
学习过程
一、学前准备
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学
◆探究新知（预习教材P8～P10，找出疑惑之处） 1、如右图，在平面内取一个 O，叫做 ；
自极点O引一条射线Ox，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建
立了一个 。 2、设M是平面内一点，极点O与M的距离
|OM|叫做点M的 ，记为 ；以极
轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做
点M的 ，记为 。有序数对叫做点M的 ，记作 。 3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ __________________________________________
_.
◆应用示例
例题1：(1)写出图中A，B，C，D，E，F，G各点
的极坐标(??0,0???2?).
（2）：思考下列问题，给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点
G的极坐标统一表达式。 答：
◆反馈练习
在下面的极坐标系里描出下列各点 A(3,0) D(5,4? 3) G(6,5?3)O X
小结：在平面直角坐标系中，一个点对应
个坐标表示，一个
M(?,?) 直角坐
? ● 标对应 ?个点。极
O
坐标系x 里的点
的极坐 标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。
三、总结提升
1．本节学习了哪些内容？答：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．已知M??5,???3??，下列所给出的能表示该点的坐标的是
A．???5,???3?? B．??4???5,3?? C．??2???5,?3?? D．??5,?5???3?? 2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A、(?,?) B、(?,??) C、
(?,???) D、(?,???)
3、设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A.(32，34?) B. (32，54?) C. (3，54?) D. (3，34?) 4、（课本习题1.2第二题）
老城高中高二数学选修4-4导学案 编号：
1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化 学习目标
1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。
学习过程
一、学前准备
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便。
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,3)，这个点如何用极坐标表示？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P11～P11，找出疑惑之处） 直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内
任意一点
P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(?,?)，则由三角函数的定
义可以得到如下两组公式： {
x??cos?y??sin?
?2?x2?y2{
tan??y
x说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取?≥0，0≤?<2?。 3、互化公式的三个前提条件
（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例
例1．将点M的极坐标(5,2?3)化成直角坐标。 （教材P11例3） 解：
例2．将点M的直角坐标(?3,?1)化成极坐标（教材P11例4） 解：
◆反馈练习
1．点P?1,?3?，则它的极坐标是
A．???2,??3?? B．??4??????2,3?? C．??2,?3??
D．??4???2,?3?? 2．点M的直角坐标是(?1,3)，则点M的极坐标为（ ） A．(2,?3) B．(2,??2?3) C．(2,3)D．(2,2k???3),(k?Z)
三、总结提升
1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化。
课后作业
1.若A????????3，3??，B??4，?6??，则|AB|=___5____，
S?ABO=_6_________。
（其中O是极点） 2.已知点的极坐标分别为(3,
?4
)，(2,2?3)，(4,?2)，(32,?)，求它们的直角坐标。
3.已知点的直角坐标分别(3,3)，(0,?53)，
(72,0)，(?2,?23)，为求它们的极坐标。
4.在极坐标系中，已知两点A(3,??3)，B(1,2?3)，求A,B两点间的距离。
老城高中高二数学选修4-4导学案 编号：
圆的极坐
标方程
本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.
一、课前小测
?温故而知新
1．圆x2?y2?1的极坐标方程是 .2．曲线??cos?的直角坐标方是 .
二 典型问题 ?重点、难点都在这里
【问题1】：求以点C(a,0)(a?0)为圆心，a为半径的圆C的极坐标方程.
3．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程.
4．求以(4,?2)为圆心，4为半径的圆的极坐标方
程.
【问题2】：已知圆心的极坐标为M(?0,?0)，圆
的半径为r，求圆的极坐标方程.