第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6) 第2周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12) 第3周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18) 第n周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6))，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n) 因为6÷4=1…2，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)
因为108÷4=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-6×27, -6×27) 解法2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；
12、（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 （ ） ．
解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB=
=5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12， ∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
12．（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （ ）
解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1）， n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．
13．（2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，求点A3和 A92的坐标分别是多少，．
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。 根据计算A3的坐标是（0，
﹣1）
﹣1) ) +1) +n-2)，
﹣1)
设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, 第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, 第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, 第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0,
因为3÷3=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即(0,
因为92÷3=30…2，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31) 解法2：∵△A1A2A3的边长为2， ∴△A1A2A3的高线为2×∵A1A2与x轴相距1个单位， ∴A3O=
=
，
﹣1）；
﹣1， ∴A3的坐标是（0，
∵92÷3=30…2， ∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点， 第31个等边三角形边长为2×31=62，
∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位， ∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．
14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5 ___ ．到达A2n后，要向____方向跳 ____个单位落到A2n+1．
解：∵蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到
A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），
∴蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出： 第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1． 17．（2012?莱芜）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在那条射线上．
解：如图所示： 点名称射线名称 AB CD BC DA A1 A2 A5 A6 A3 A10 A12 A4 A9 A11 A7 A14 A16 A8 A13 A15 A17 A18 A21 A22 A19 A20 A23 A24 A26 A25 A30 A29 A28 A27 A32 A31 … … … … 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环， 因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12所在的直线一样． 因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB． 18、（2011?钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是 _________ ．
解法1：观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0) 第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0) 第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0) 第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)
因为2011÷4=502…3，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×4-1, 2)，即（2011，2）
解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2）
19、将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 _________ ．
解：第1排的第一个数为1， 第2排的第一个数为2，即2=1+1 第3排的第一个数为4，即4=1+1+2 第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3
第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n（n-1）/2
将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）表示的实数是23.
20、（2011?锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 （ ）。点A第103次跳动至点A103的坐标是 （ ）
解法1：观察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1) 第2周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2) 第3周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3) 第n周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)，
因为103÷2=51…1，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）
解法2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐
n??n?1, ??2?．第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为?2
第4次跳动至点的坐标是A4（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是A6（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），
n??n?1, ??22??，∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）． 第n次跳动至点的坐标是An
（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐
?n?1n?1?, ???22?? nn标的相反数，即第次跳动至点A的坐标为
第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2）， 第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4）， …
?n?1n?1?, ???22??， 第n次跳动至点的坐标是
∴第103次跳动至点的坐标是（-52，52）．
21、（2008?泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008, P2007的横坐标分别为为( )（ ）
解法1：观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1、P2、P3组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,0)， P2(1,0), P3(2.5,y) 第2周期点的坐标为：P1(4,0)， P2(4,0), P3(5.5,y) 第3周期点的坐标为：P1(7,0)， P2(7,0), P3(8.5,y) 第n周期点的坐标为：P1(3n-2,0)， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y) 因为2008÷3=669…1，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同， (3×670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标为2008
因为2007÷3=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同， (3×669-1+0.5，y)，即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5 解法2：观察图形结合翻转的方法可以得出