是数值方法模拟的极优选择。对于计算机而言，如果采用数值模拟算法，就可以避免直接进行一些复杂微分方程的求数值解时不停地执行迭代循环的问题，大幅提升计算机运算速度。这主要是基于以下原因，首先，二叉树方法简洁易懂，不需要过多的数学及统计基础，只是基于概率论以及利息理论等简单内容的算法，另外，作为计算机模拟方法，二叉树方法过程并不复杂，计算量相对较小，一般只需30步迭代即可求得比较精确的期权价格，还有二叉树方法作为简单的模拟方法还有很大的发展空间，比如三叉树以及有股息的二叉树都是简单二叉树方法的发展。
第二章预备知识
2.1 期权
期权又被叫做选择权，它是在期货的基础上产生的一种衍生金融工具。具体是指在未来一定时期可以进行买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（权利金）后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格即执行价格向卖方购买或售出一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。所以从本质上讲，期权的实质上是在金融市场交易中将权利进行定价，使得权利的拥有者在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。在期权的交易中，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；权利的拥有者称为买方，而义务的承担者则被叫做卖方。
期权又细分为两种：看涨期权和看跌期权。持有看涨期权的人可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一确定价格即执行价格买入一定量的某种资产，持有看跌期权的人则可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一特定价格卖出一定量的某种资产。我们平时所说的欧式期权、美式期权和由基本期权衍生的亚式期权是根据不同种类期权行使时间的差别而产生的。本文中，我们主要讨论欧式期权。欧式期权的特征为：期权持有人也即期权的长头寸方只有在期权到期日此特定时刻才能选择是否行使期权。这也为我们建立模型以及统计计算提供了便利。
举一个简单的例子：投资者购买了一份股票的欧式看涨期权，期权合约表明该合约的持有者可以在3个月之后以20元的价格买入一份大豆。3个月后的履约日，一份股票的价格涨到了22元，那么，该合约的持有者可以履行该合约，以20元的价格买入一份股票然后再以22元的当时市场价卖出，从而赚得了2元的差价。
2.2二叉树方法 2.2.1 方法概述
二叉树方法、蒙特卡洛方法以及微分方程的有限差分方法等都是期权定价的重要方法，其中二叉树方法是对期权和其他衍生品进行估算而普遍使用的一种数值模拟方法。
Cox,Ross和Rubinstein在1979年提出的二叉树法是现在较为成熟的二叉树方法的思想基础，二叉树法中树图如下图所示，表示衍生品资产价格在有效期内按一定规律可能遵循的路径，从而更明显地分析真实期权，而且得出的
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模拟结果与Black-Scholes公式得到的结果是等价的，尤其是当二叉树方法的步数足够大的时候，二叉树方法得出的数值解与B-S公式得到的解析解基本没有差异。
我们首先来讨论一步二叉树中各节点股票价格以及期权价格，假设初始0时刻股票价格为S0，股票期权的价格为f，T表示期权的有效期，在期权此有效期内，股票的价格可能会由S0上涨到S0u，也有可能从S0下跌到S0d，其中u>1，d<1。当股票涨价时，这支股票价格增长的比率为u-1。当股票降价时，这支股票价格下跌的比率为1-d。假设如果股票价格变到S0u，相应的期权价格为fu；而股票价格变为S0d时，期权价格为fd。结果如图所示。
S0u fu S0 f
S0d fd
例如，我们将一个X股股票的长头寸和一份期权的短头寸组成一个交易组合。我们能够找到一个实数X使得当前交易组合不具有任何风险。期权到期时的价值在股票价格上涨时为
S0uX-fu
期权到期时价值在股票价格下降时为
S0dX-fd
令以上两个值相等，即
S0uX-fu=S0dX-fd
我们得出
fu?fdX?
S0u?S0d这时的交易组合根据开始的假设应当是无风险的，由此它的收益率一定会等于无风险利率。上式表示，在时间T当股票在两个节点之间变动时，X为期权价格变化与股票价格变化的比率。
如果我们将此交易组合的无风险利率用r表示，则此交易组合的贴现值应为
(S0uX?fu)e?rT
而当前交易组合的在0时刻的成本应为
S0X-f
所以
S0X?f?(S0uX?fu)e?rT
即
f?S0X(1?ue?rT)?fue?rT
将X的表达式带入上式并进行化简，则有
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f?S0fu?fd(1?ue?rT)?fue?rTS0u?S0d
或
fu(1?de?rT)?fd(ue?rT?1)f?u?d
或
f?e?rT[pfu?(1?p)fd] (2.1)
其中
erT?dp?u?d (2.2）
当股票的价格代入如上方法设置的一步二叉树当中时，这一系列式子可以来对期权进行一步定价。 2.2.2 二叉树方法的优点和缺点
优点：二叉树方法可以在多种期权（例如美式期权和欧式期权）中进行应用，原理简洁明确是其最大的优势，并且在前人的努力下，简单二叉树模型已经比较完善，其中的参数设置已经比较成熟，相对于其它模拟（如蒙特卡洛方法）方法来讲，二叉树方法需要的初始数据较少，适合大体趋势的模拟。 缺点：二叉树方法作为数值模拟方法，其随机性没有典型的随机模拟方法那么好，毕竟股票价格是在一定规律下随机波动，缺少随机性的设置使得二叉树模拟并不精确，尤其是在步数较少的情况下，而在步数过大时，计算复杂度较高，会耗时耗力。 2.2.3 风险中性定价
风险中性定价是二叉树方法以及B-S公式模型中一个重要的原理和原则，所谓的风险中性定价（risk-neutral valuation）：指当对衍生品定价时，我们可以假设投资者是风险中性的。这个假设具体是指投资风险增长时，投资者并不需要额外的预期回报率。我们将所有的投资者都是风险中性的世界定义为风险中性世界(risk-neutral world）。当然，我们所生活的世界不是风险中性的，投资者所承受的风险越大，要求的回报也会越高。然而，我们发现当假设世界是风险中性时，给出衍生产品价格不但在风险中性世界是正确的，在我们所生活的世界里也是正确的。对于买方和卖方对于投资风险的厌恶程度这种感性的内容，我们无法用精确的数字来衡量，所以我们不得不设法躲避这个变量，而风险中性定价原则正好迎合了我们的需求。
此假设看起来有点问题，但我们经过反复考证就会有欣喜的发现：虽然投资者对风险会有喜恶，例如当投资者更喜欢大风险带来的高额利益时，股票价格会上涨，然而我们这里讨论的是期权价格与股票价格的关系，两个价格都会发生变化，但是此二者之间关系是稳定的。
风险中性世界中的两个特殊性质能巧妙地简化对期权等衍生品的定价： 股票等投资的收益率期望在风险中性世界里是无风险利率
用于对期权等债权的收益期望值贴现的利率也等于无风险利率。
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式（2.1）中参数p应当被理解为在风险中性世界里股票价格上涨的概率，而1-p则是相应的股票价格下跌的概率。表达式
pfu?(1?p)fd
的值则是期权到期日也即T时刻的收益在风险中性世界条件下的期望值，式（2.1）可以表达为期权今天的价值等于其收益在风险中性世界期望值的以无风险利率贴现所得的现值。这正是风险中性原则定价的一个应用。
为了证明我们对p的理解是合理的，当上涨概率为p时，股票在T时收益的期望E(ST)为
E(ST)?pS0u?(1?p)S0d
即
E(ST)?pS0(u?d)?S0d
将式（2.2）中p代入公式，得
E(ST)?S0erT
以上公式说明当股票价格上涨概率为p时，资产的增长速度由无风险利率r给出。也即股票价格变化行为正如当p为价格上涨概率时在风险中性世界我们所期望的那样，当股票按二叉树的方式变化时，风险中性定价是正确的。
2.3 Black-Scholes 期权定价模型 2.3.1模型来源
Black-Scholes 期权定价模型也经常被人们叫做 Black-Scholes-Merton期权定价模型，主要是用来进行期权价格以及收益期望的计算和估计。这个模型的主要研究人员从两个不同的方向研究了期权定价问题，麦伦·斯科尔斯与费希尔·布莱克利用了资本资产定价模型来确定市场对期权所要求的回报与对股票所要求的回报之间的关系。而罗伯特·默顿所采用的方法主要采用了风险中性原则。即在一个很短的时间段内，由股票和期权给出的投资组合的回报率可以看做无风险利率。相对于前面两位研究者，默顿的方法更具有一般性。现在为金融研究者熟知并广泛应用的Black-Scholes期权定价模型正是基于默顿的方法和研究推导出来的。 2.3.2风险中性定价
之前在二叉树方法中我们已经引入了风险中性定价理论，在B-S定价模型中，风险中性定价原则也是非常重要的，布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程不涉及任何受投资者对风险选择影响的变量。股票的当前价格、到截止日期前时间、股票价格波动率和无风险利率这些变量是方程中的所有变量，而它们均与风险选择无关。由于布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程与风险选择无关，我们可以利用一种巧妙的方法：如果风险选择在方程中不出现，那么它不会影响方程的解。因此，在计算0时刻期权价格f时，任何一组风险选择都可以被当做实际情况进行计算，特别地，可以假设所有的投资者均是风险中性的。
在应用风险中性定价计算的过程中，需要假设标的资产的期望收益率为无风险利率，由此用无风险利率对收益期望进行贴现求解。对于风险中性的投资者而言，他们不愿意用额外的风险换取额外的回报，因此在分析时利用风险中
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性假设可以大大简化分析的过程。
2.3.3模型假设 ·不存在无风险套利机会
·模型研究的期权种类假定只为欧式期权
·股票的价格服从对数正态分布，而同时股票的收益率服从正态分布 ·在期权有效期内，也即到期日前，无风险利率和股票的收益变量是常量 ·无税收和交易成本
·股票在期权有效期内没有股息 2.3.4Black-Scholes期权定价公式
B-S微分方程
?f?f122?2f?rS??S?rf2?t?S2?S
的解是关于看涨期权与看跌期权最著名的定价公式，分别为
c?S0N(d1)?Ke?rTN(d2) p?Ke?rTN(?d2)?S0N(?d1)
式中
ln(S0/K)?(r??2/2)Td1??T 2ln(S0/K)?(r??/2)Td2??d1??T?T
式中的N(x)表示标准正态分布的概率分布函数，也就是说这一函数等于服从标准正态分布的随机变量其值小于x的概率。此外，c表示欧式看涨期权的价格，而p则为看跌期权的价格，S0表示股票在初始0时刻的价格，K为期权在到期日的执行价格，r表示连续复利的无风险利率，股票价格的波动率由σ给出，T表示从起始时刻到执行时刻的时长。
考虑最基本的欧式看涨期权，风险中性世界里，期权到期时的期望值是
ê[max(ST?K,0)]
式中ê表示在风险中性世界里的期望值。从风险中性定价方法我们可得，欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，也就是说
c?ê[max(ST?K,0)]e?rT
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