第三章本论
3.1期权定价的二叉树模型
在这里我们只讨论欧式看涨期权没有股息且无套利的情况，这是由二叉树方法在此条件下有着性质十分良好的解析解决定的。由于近些年金融市场的发展、改革和完善，Black-Scholes的初始模型的拟合优良程度已不如模型刚问世的时候，我们不断研究发展这个公式，同时添加各种可能参数，这样作为B-S公式给出的理论值与二叉树方法进行比照，这两种方法的对照使我们辩证的看待它们的准确性，具体分析问题，讨论当参数取值不同时，B-S公式以及二叉树方法的合理性，以便及时判断误差是来自模型本身的系统误差还是由二叉树方法本身所造成的。
3.1.1参数确定 要利用二叉树方法进行模拟计算就需要确定模型中的p,u及d。我们设置以及选择这三个参数的目的中最终要的就是必须保证股票价格在时间?t内的均值以及波动的方差都给出合理的值。由于我们假定了风险中性世界，将无风险利率r视为股票的收益率期望，如果资产提供收益率q的收入（如股息），那么资本增值的部分的收益率期望应该由r-q给出，这意味着在一个时间段?t末，资产价格的期望值为Se(r?q)?t，式中S为资产在开始时也即0时刻的价格。要使二叉树模型与回报期望值相对应，我们应有
Se(r?q)?t?pSu?(1?p)Sd
即
e(r?q)?t?pu?(1?p)d
（3.1）
将资产价格在?t时间内增减变化的百分比变化记为R，那么1+R等于u的概率为p，而其值等于d的概率为1-p。由上式以及方差计算公式得
pu2?(1?p)d2?e2(r?q)?t
因为加减常数变量方差不变，所以R的方差与1+R的方差相同。 由股票价格服从过程
dS??Sdt??Sdz
以及其离散形式
?S??S?t??S?z
以及其性质
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?z???t 其中?服从标准正态分布，得
?S?N(??t,?2?t) S2??t由此可知，当很小时，?t近似地等于在?t时间内股票价格变化百分比的
方差。因此
pu2?(1?p)d2?e2(r?q)?t??2?t
由式（3.1）得出，e(r?q)?t(u?d)?pu2?(1?p)d2?ud，因此
e(r?q)?t(u?d)?ud?e2(r?q)?t??2?t （3.2）
式（3.1）和（3.2）给出了决定p、u及d的两个条件，Cox、Ross和Rubinstein选取的第三个条件为
1 d
当忽略式中?t的高阶项时，式（3.1）（3.2）（3.3）的解为
u?（3.3）
p?a?d u?d?tu?e?d?e?? ?t式中
a?e(r?q)?t
变量a有时也被称为增长因子。
模型中还有很重要的一个参数?为股票价格波动率，关于波动率的计算方法有多种，比较常用的两种分别为：由历史股票价格数据来估计波动率和使用历史期权价格与B-S公式的解析解来反推波动率。我们选择第一种方法求解：首
Si)，根据股票价格服从对先，我们要获取n+1个股票样本，新定义?i?ln(Si?1数正态分布以及其均值、方差我们可得?i的标准差为??，其中?为时间区
间的长度。那么波动率的估计为??var(?)?，也就是
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??1n(?i??)2?n?1i?1?
3.1.2资产价格树形
如图所示，在时间0时，股票的价格S0为已知；在时刻?t时，其价格有
两种可能的值：S0u，S0d；在时刻2?t时，股票价格有三种可能的值分别为：S0u2，S0，S0d2；以此类推。
S0u4 S0u3 S0u2 S0u2 S0u S0u S0 S0 S0 S0d S0d S0d2 S0d2 S0d3
S0d4
在一般情形下，在时刻i?t时，价格有取i+1种值的可能，它们是
S0ujdi?j,j?0,1,?i
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，例如，当i=3和d
j=2时资产价格为S0u2d?S0u。此外，树中节点是重合的，即资产价格先上涨再下跌和先下跌再上涨所得出的值是一样的。 图中，计算每一节点资产价格时，采用了关系式u?
3.1.3通过树形倒推 通过在期权到期日即时间T（树的末端）的期权价格由反向归纳
（backwards induction）的方式可以对期权进行定价。期权在时刻T时的价格是已知的，例如看涨期权的价格为max(ST?K,0)，而看跌期权的价格为max(K?ST,0)，其中ST为股票在时刻T时的价格，K为执行价格。因
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为我们假定交易发生在风险中性世界中，在T??t时刻每一节点上的期权价值等于将T时刻期权价值的期望值以无风险利率r在时间区间?t上进行贴现。类似的，在T?2?t时刻每一个节点上的期权价值可以将T??t时刻的期权价值的期望值以无风险利率进行贴现来求得，并以此类推。
3.1.4代数表达式 假定一个欧式期权的期限分为N个长度为?t的时间区间。我们称在时间i?t的第j个节点为(i,j)节点，其中0?i?N,0?j?i。令fi,j为期权在(i,j)节点上的值，标的资产在(i,j)节点上的价格为S0ujdi?j。如果是看涨期权，它在时间T（到期日）的值为max(ST?K,0)，因此
fN,j?max(S0ujdN?j?K,0)，(j?0,1,?N)
如果是看跌期权，它在到期日的值为max(K?ST,0)，因此
fN,j?max(K?S0ujdN?j,0)，(j?0,1,?N)
在i?t时，从(i,j)节点移动到(i?1)?t时刻，到(i?1,j?1)节点的概率为
p，到(i?1,j)节点的概率为1?p。由于是欧式期权，到期日才能被行
使，由风险中性定价原理可以得出，对0?i?N?1和0?j?i，
fi,j?e?r?t[pfi?1,j?1?(1?p)fi?1,j]
3.2 例子模拟计算和结果分析
对于例子：一支无股息股票为欧式看涨期权，期限为5个月，股票当前价格为50元，执行价格为40元，无风险利率为每年10%，波动率为每年40%。如图（1）所示，经二叉树模拟计算得期权定价为12.52元，而由Black-Scholes公式算得期权价格约为11.65元。
当上例中执行价格分别变为50元和30元时，二叉树方法模拟结果分别如图（2）（3）所示，约为6.09元和21.27元，B-S公式算得结果分别为2.39元和21.22元。
当上例中期权执行价格分别变为60元和20元时，如图（5）所示，由二叉树模拟价格分别为2.52元和30.82元，由Black-Scholes公式模拟的结果分别为-5.52元和30.82元。
结果分析：由图（1）（2）（3）（4）（5）易得当期权执行价格明显小于股票初始价格时，二叉树方法模拟的结果与Black-Scholes公式算得的结果相比相差不大，也就是说二叉树方法模拟相对准确；然而在较为符合看涨期权实际情况的期权执行价格与股票初始价格相差不大或者大于股票初始价格时，二叉树方法模拟结果与B-S公式算得的结果相差比较大，在此种情况下，简单的二叉树方法模拟无法准确地得到真实的期权价格。
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图（1）执行价格为40元
图（2）执行价格为50元
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