图（3）执行价格为30元
图（4）执行价格为60元
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图（5）执行价格为20元
同时，从图中我们容易看出，当二叉树模拟20步以内波动较为明显，当模拟到30步左右时，期权价格波动已经相对较小也即价格已经保持稳定，当模拟到30步以后时，价格波动基本不变。所以，二叉树模拟步数设置为30步比较合适，既不会对精确程度造成较大影响，又不会多做不必要的计算。
3.3 模型改进——三叉树
三叉树模型是二叉树模型的一种改进，假定在树形的每个节点上价格变化为上升、不变以及下降的概率分别是pu，pm，和pd，树形的步长为?t。假定股票支付股息收益率q，当我们忽略?t的高阶项时，以下参数可以保证树形的均值和标准差与股票价格的均值和标准差相吻合
u?e?3?t,d?1 u?t?21pd??(r?q?)?
12?226pm?2 3?t?21pu?(r?q?)?
12?226
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三叉树的计算过程与二叉树类似，计算由树尾倒推到树的起点。在每一个节点，我们需要计算形式期权的价值与继续持有期权的价值，继续持有期权的价值等于
e?r?t(pufu?pmfm?pdfd)
式中fu、fm和fd分别为在下一步节点上对应于价格上升、取中间值和下降时的期权价格。
更新模型后，继续考虑之前给出的例子，我们重点考虑较为符合实际情况的初始价格与执行价格相差不大的情况，同样的初始价格50元，我们来考虑执行价格为49元和51元的情况：由三叉树模拟的情况分别如图（6）（7）所示，其结果分别为3.30元和2.80元，而由Black-Scholes公式给出的结果分别为3.27元和1.51元，可以看出当执行价格为49元时，是较为符合实际情况的一种，且用两种方法模拟效果相差不大，也即三叉树模型确实较二叉树模型更加符合实际情况。
图（6）执行价格为49元
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图（7）执行价格为51元
由以上结果可以得出，三叉树是在二叉树基础上的有效改进，其算法改进的主要方面即为每次股票价格波动多提供了一种可能（股票价格保持不变的情况），这使得三叉树算法模拟更加接近真实情况。我们可以考虑，每次股票价格给出的变化可能更多，这对于以期望形式给出的期权价格来讲是非常关键的，那么从理论上讲，我们的模拟结果也会在符合实际的情况中更加精确，也即与B-S公式计算得到的结果相差更小。如果每次股票价格给出的可能趋于无穷大，那么我们会得到理论上的准确期权价格，但这无疑会大大增加我们的计算量。
3.4模型反思
对于二叉树与三叉树模拟方法，我们已经基本掌握其算法过程以及主要原理，在例子中，我们保持无风险利率、波动率以及初始价格等参数不变的基础上，在不同的执行价格下观测算法模拟的情况，同时与B-S公式给出的结果相对照，我们从理论和实际模拟情况中得出三叉树模型的优势。
完成模拟后，我们反思整个过程，我们欣喜地发现，我们有两种期权定价的方法（二叉树、三叉树模拟方法和Black-Scholes公式），当我们固定无风险利率、波动率以及初始价格等参数时，设两种定价方法给出的期权价格相等，则我们可以反求期权执行价格，在实际问题中，准确地给出执行价格也有十分重要的意义。
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第四章结论
经过金融市场的发展以及金融数学工作者对金融衍生品不断的研究和探索（包括Black-Scholes 期权定价模型的发展），这些都使得以前的经典模型已经不再适用，计算过程不断的变得复杂，即使使用计算机帮助计算也很复杂，此时二叉树方法作为典型的数值模拟算法，进行模拟时往往比较有效。我们可以通过原始的B-S公式得到欧式期权的理论定价，同时与二叉树模拟得到的结论相对照，我们容易得出二叉树方法的准确定价是对初始值以及执行价格有一定条件的，并且对于二叉树模型来讲，虽然这是一种比较优秀的模拟方法，但其假设条件比较苛刻，这就造成我们得出的结果与实际期权价格的偏差，随着金融市场以及金融衍生品的发展，我们的计算模型也应随着改进，文中最后提到的三叉树就是二叉树模型的一个重要改进，其模拟效果在符合实际的情况下与B-S公式给出的理论值更加接近，然而与此同时，我们的工作以及计算机的计算量也会相对增加，还有我们可以增加条件使得模型更加贴近实际，例如在期权到期日之前是有股息的，这些改进都是研究中的重要突破。同时，我们也了解了二叉树方法模拟步数与结果精确度间的关系，找到了一个相对合理的模拟步数，这对今后的二叉树模拟有指导意义。
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