第一章 勾股定理
一、勾股定理：
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。 勾股数：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。 常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，请熟记。 勾股定理的应用：
求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
二、直角三角形三边之间的关系：
不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；
等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长。 直角三角形的判别：
(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；
(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形。 三、勾股定理中的方程思想
勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
四、勾股定理中的转化思想
在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三
第二章 实数 一、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。 说明：
1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。
2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。 3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上
=5是有理数而不是无理数。
4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如1.414，1.4142?都是有理数。 无理数与有理数的区别：
是无理数，而它的近似值1.4，1.41，
1、有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。
2、所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n不等于0，m、n是整数）表示。 二、实数：
有理数与无理数统称为实数。 1、实数的分类：有理数和无理数。
有理数包括（正有理数、0、负有理数）。 无理数包括（正无理数、负无理数）。 正有理数包括（正整数、正分数）。 负有理数包括（负整数、负分数）。 正无理数和负无理数都是无限不循环小数。
2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）。
a（a0）
3、实数a的绝对值
4、实数的绝对值性质：
-a （ a
=
0 （ a = 0）
；｜a｜=｜－a｜；
5、实数的大小：
=； =（b）；=
正数大于0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。 6、实数的运算：
在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同：先乘方、开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。
有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。 7、实数和数轴上的点的对应关系：
任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 8、比较实数大小的方法：
实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的．在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。 （1）数轴法
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 （2）计算法：
直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。 （3）特殊性质法：
利用某些数的特殊性质，如：
（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小； （2）若ab0，则（4）作差法：
对实数a、b，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，则ab。
0，（n为正整数）。
（5）作商法：
（1）对a>0，b>0，若a/b＞1，则a>b；若a/b＜1，则a
说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。 三、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即四、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a即x2=a，那么这个数x和它的相反数—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。
平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 五、立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 六、确定平方根或立方根的大致范围
有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算√43的大小，要求误差小于O．1．首先找出43邻近的两个完全平方数，如36<43<49，则√36<√43<√49，即6<√43<7，由此可见√43的整数部分应是6，然后再由6.5=42.25，6.6=43.56得42.25<43<43.56，得6.5<√43<6.6，从而知√43的十分位上的数应为5，即√43≈6.5或6.6． 七、通过估算比较两个数的大小
对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法： (1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根）越大；
(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小． 八、涉及三种非负数的问题
非负数是正数和零的统称，初中数学学习中，常见的非负数有三种；实数的绝对值、实数的平
2
2
”
=0。
方、非负实数的算术平方根，灵活运用它们值的大小或等于O的特性，对一些问题可找到很好的解决途径。