指数有效久期模型
——王雷 1240410127
摘要: 指数有效久期模型是一个新的用来衡量固定收益证券市场上的利率风险的模型。它建立在有效久期的基础之上, 因而体现了附有选择权债券的价格变动情况。在利率上升时, 指数有效久期是一种能够更好地被风险规避型投资者用作测算可回售债券利率风险的工具, 避免了使用指数久期所带来的过分夸大债券价格下跌幅度的缺陷。而在利率下降时, 该模型又可以部分克服指数久期过度高估可赎回债券的价格上涨幅度的缺憾。
关键词: 指数久期; 利率风险
一、引论
固定收益证券的久期理论随着资本市场环境的变化而不断得到发展和完善。从20 世纪30 年代有学者首次提出久期( duration) 的概念直至70 年代,由于西方国家普遍存在的利率管制, 利率的波动很小, 因此实务界对于能够用来衡量债券利率风险的久期方法关注甚少, 在理论上也几乎未有重大的创新。随着20 世纪80 年代以来,各发达国家对市场利率纷纷放松管制, 实现利率的市场化, 利率的变动开始变得频繁而剧烈。广大投资者和实务工作者迫切需要一种简便而又准确的工具来衡量固定收益证券市场上的利率风险, 从而能有效指导他们在市场上的行为, 规避风险。
二、研究背景
Macaulay( 1938) 最先提出久期( duration) 的概念, 他使用久期来衡量债券的加权平均到期时间, 反映投资者以债券利息和本金的方式最终收回初始投资所需要的时间, 即Macaulay 久期。Hicks( 1939) 以Macaulay 久期为基础进行了一些修改, 加入当期收益率因素, 建立了修正久期(Modified Duration) 模型, 用来度量利率每变动100 个基点, 债券价格的变化百分比。其后, 众多的西方学者对久期理论又进行了不断的发展和完善。
2005 年Miles Livingston 和Lei Zhou 共同提出了指数久期( exponential duration) 的概念。他们认为当市场利率上升时用修正久期和修正凸性方法来衡量价格变动会低估债券价格的下降幅度, 高估其价格, 这会误导风险规避型投资者的市场行为。而指数久期模型得出的变动后的价格则会略低于真实价格, 避免了传统久期跟凸性高估价格的缺陷。但是我们看到, 这一模型有一定的局限性, 在于它所依赖的是修正久期, 而目前西方国家相当一部分债券是附有可赎回或者可回售条款的, 修正久期并不适用于判断这类债券的利率敏感性。这就导致了指数久期理论在应用时会存在与修正久期相类似的缺陷。我们可断定, 在利率上升时, 指数久期会过分夸大附有可回售条款的债券价格下跌幅度, 因为对于这种债券, 其在利率上升特别是幅度较大时, 具有一定的抗下跌特性; 而当利率下跌时, 指数久期则会过度夸大可赎回债券价格的上涨幅度。
正是考虑到指数久期的这一局限性, 我们试图发掘一种无论是否附有选择
权( 本文指可回售和可赎回) , 都能用来有效指导市场上绝大多数投资者行为的工具, 我们称之为指数有效久期。与先前由Miles Livingston 和Lei Zhou 提出的指数久期的差异在于, 它的推导是建立在有效久期的基础上的, 而不是修正久期。而根据前人已有结论, 对于普通债券, 有效久期与修正久期的结论十分一致, ①而当衡量的是附有选择权的债券的价格敏感性时, 它就显示出自身独特的解释力上的优势。所以, 指数有效久期从某种意义上来说是指数久期的修正。在本文中,我们主要讨论固定利率债券价格的利率敏感性。
三、指数有效久期模型
有学者指出, 债券价格的对数形式能够更好地用来衡量市场利率变动时债券价格变动的情况(Bierwag, Kaufman 及Latta 19884 Campbell, Lo 及MacKinlay 1997; Crack 和Nawalkha 2001) 。鉴于此,我们可首先对lnP 求关于y 的导数:
我们需要假设可回售和可赎回这两个条款不同时出现在一个债券上, 而且在现行的市场利率或者说收益率的水平上, 利率一旦开始变动就会呈现出可赎回或可回售的特性, 在债券价格曲线的图形上表示为: 利率上升时, 曲线较无可回售选择权时要平坦; 利率下降时, 曲线会出现负凸性。
我们先来分析附有可回售条款的债券的情况,这时需要dy>0。因为债券价格与市场利率是呈反向变动关系的: 利率y 上升时, 市场价格P 下跌, 即dP<0。我们现在用
近似地表示在市场利率上升时, 债券价格变动的幅度dP。其中P-
和P+分别是市场利率下跌和上升相同基点时债券的价格水平。利率变化越小, 这一近似值就越接近真实变动情况,这是由债券价格曲线的凸性决定的。
于是我们可得:
用De 来表示有效久期, 因为, 所以我们有, 当dy>0
时,
现在用△lnP 近似地表示dlnP, 用△y 来表示dy, 那么就有
而上式又可通过△lnP=lnP1- lnP 进一步转化为(5) lnP1- lnP=- De*△y, 其中P1 是市场利率变动后的价格( 在这里, 利率上升) , P 是初始价格。
接着我们可改写成:
那么经过一定的数学转换我们可得到以下两式:
以上( 7) ( 8) 就是我们提出的在利率上升时, 可以解释附有可回售条款时债券利率敏感性的模型。因为它是建立在有效久期的基础之上, 所以我们称之为指数有效久期。
现在我们来分析附有可赎回条款的债券的情况, 这时需要dy<0。跟前面的推导过程相类似, 我们简化其过程如下:
那么市场利率y 变动后的价格
,价格的变动百分比
我们可以看到, 分别考察可赎回和可回售债券价格敏感性时的模型是一致的。
这里需要提示的是, 指数有效久期模型的形式与Miles Livingston 和Lei Zhou 的指数久期模型十分类似, ③其差别或者说优势在于有效久期De 的引入。而且根据已知理论, 在不存在可回售和可赎回条款时Dm 与De 近似, 因此指数有效久期具有与指数久期跟传统的修正久期和凸性相比相同的优点; 而当存在这些条款时, 由于Dm 与De 解释力的不同导致的差异, 使得指数有效久期要优于指数久期。
四、关于指数有效久期模型适用性的论证
下面我们先来证明在附有可回售条款时, 指数有效久期更适合于投资者用来衡量市场利率变动的风险。
由于当附有可回售条款时, 债券价格相对于利率在图形上呈现正凸性的性质, 也就是说利率上升时债券价格下降的幅度要小于利率下降相同基点时债券价格上升的幅度。所以
夸大了利率上升时价格下降的幅度, 而根据
我们可知该公式夸大了。当利率变动很小时, 譬如说只有10 个基点或者更小, 那么这种夸大几乎微不足道, 而如果利率变动100 个基点或者更多时, 这种夸大就会突显出来, 并且随着利率变动的不断增大, 这种差异也会不断增加, 因此有1Pexponential#P+, 其中P+为利率上升后可回售债券的实际价格。所以根据指数有效久期计算得出的价格会低于变动后的真实的债券价格。
在dy>0的情况下, 因为修正久期Dm 在数值上不小于有效久期De①, 所以由单调性得
即使用指数有效久期测算出的价格要大于使用
指数久期得出的价格。
综上, 我们的结论是, 虽然Miles Livingston 和LeiZhou 的指数久期高估债券价格下降幅度的特性相对于风险规避型投资者来说不失为一个有效的工具, 但是其未能体现附有选择权债券的特性。而我们知道,在市场利率上升时, 可回售债券的价格具有抗下跌性, 而有效久期模型过分夸大了债券的下跌幅度, 如果投资者使用这一模型来指导自己的市场操作, 可能会引起债券市场上的过度恐慌, 造成市场动荡。而指数有效久期可以有效地避免这种情况的发生, 因为它所依赖的有效久期, 本身就是作为一种可以用来衡量附有选择权的债券价格变动的敏感性工具。根据我们前面的证明, 使用指数有效久期将不会过度夸大债券价格下跌的幅度( 我们将在后文举例进行进一步阐述) , 所以说, 当内置可回售选择权时, 指数有效久期将优于指数久期。而如果债券无任何选择权, 那么根据已知理论( 修正久期十分近似有效久期) , 指数有效久期的效果将与指数久期趋于一致。
现在假设有一只10 年期, 票面利率为8%, 半年付一次息, 面值为1 000 元的附有可回售条款的债券, 目前市场利率也为8%。表1 列出了在利率变动不同基点时分别使用指数久期和指数有效久期模型得到的价格以及市场价格的情况。其中第一纵列是在利率变动不同基点后的市场利率情况。最后两列是分别使用指数久期模型和指数有效久期模型得出的可回售债券的价格。而市场价格的计算使用《中国人民银行关于全国银行间债券市场债券到期收益率计算有关事项的通知》( 银发[2004]116 号) 上载明的对不处于最后付息周期的固定利率债券的定价公式:
其中PV 代表债券全价, C 代表票面年利息,代表年付息频率, f 代表到期收益率, y 代表债券结算日至下一最近付息日的实际天数, n 代表结算日至到期兑付日的债券付息次数, M代表债券面值。
通过比较表1 的第3、6、7 列发现, 我们的指数有效久期模型算得的价格会低估可回售债券的市场价格, 但会高于指数久期估算的价格。也就是说,使用指数久期会过度低估债券的价格。这一点也可从与表1 相对应的表2 的低估水平( 用小数表示)来获得证实。
我们发现在市场利率变动很小的基点( 如5、10) 指数久期和指数有效久期模型的低估水平趋近0, 差异不是很大。但当利率变动较大, 如100 个基点, 200 个基点时, 指数久期过分夸大的“特性”就暴露出来了, 较指数有效久期夸大降幅达70%以上。所以说, 在附有可回售条款时, 指数有效久期更适合作为一种被市场参与者, 特别是风险规避者指导其行为的工具。
对于可赎回债券, 市场利率下降时指数有效久期与指数久期一样都存在着高估债券价格的现象,但是值得说明的是指数有效久期更趋近于指数久期。所以在考察可赎回债券的利率敏感性时, 指数有效久期仍然优于指数久期。
另外需要指出的是, 根据前人理论, 有效久期与有效凸性一起能很准确地来衡量债券价格的真实情况, 那么似乎指数有效久期在此变得毫无意义。但是我们在此必须重申, 指数有效久期模型提供了一种能够更便捷和迅速地估测出债券价格变动率的方法, 因为我们无须再去计算复杂的有效凸性Ce, 只需知道De, 再取幂e 就可以了解债券的价格变动情况了, 而且又不会像修正久期和修正凸
性那样在市场利率上升时误导市场参与者的投资行为, 损害投资者的利益。
五、结论
我们提出并阐述了指数有效久期模型的基本思想, 并且通过一系列论证和比较最终认为它是一种更适合于风险规避型投资者用来揭示固定收益证券市场上各种资产利率风险的有效方法。
这一模型主要有以下几个优点: 第一, 在衡量无选择权的债券的利率风险时, 具有与指数久期一样避免了传统的修正久期和凸性方法在衡量利率上升时高估债券价格的长处;第二, 克服了指数久期不能用来很好地揭示附有选择权债券的利率风险的缺陷, 避免了过分夸大可回售债券价格的下跌幅度以及可赎回债券的上涨幅度。特别是在解释可回售债券利率敏感性问题上, 具有其独特的优势, 可以有效防止过度低估价格而造成的市场恐慌和抛售行为; 第三, 可以免去计算繁杂的有效凸性,因为指数有效久期模型的提出使得我们只要取e的( - De-Δy) 次方就可以了, 计算简单, 而且又与真实值十分近似。所以, 基于以上的论述, 我们认为, 指数有效久期模型凭借其自身的优势, 一定会在实践中得到风险规避型投资者的广泛运用。