【例4.2-6】矩阵零空间及其含义。
A=reshape(1:15,5,3); X=null(A) S=A*X n=size(A,2); l=size(X,2); n-l==rank(A) X =
-0.4082 0.8165 -0.4082 S =
1.0e-014 * 0.2109 0.2220 0.3220 0.3331 0.4330 ans = 1
【例4.2-7】简单实阵的特征值分解。 （1）
A=[1,-3;2,2/3] [V,D]=eig(A) A =
1.0000 -3.0000 2.0000 0.6667 V =
0.7746 0.7746 0.0430 - 0.6310i 0.0430 + 0.6310i D =
0.8333 + 2.4438i 0 0 0.8333 - 2.4438i
（2）
[VR,DR]=cdf2rdf(V,D) VR =
0.7746 0 0.0430 -0.6310 DR =
0.8333 2.4438 -2.4438 0.8333
（3）
A1=V*D/V A1_1=real(A1) A2=VR*DR/VR
err1=norm(A-A1,'fro') err2=norm(A-A2,'fro') A1 =
1.0000 - 0.0000i -3.0000 2.0000 + 0.0000i 0.6667 A1_1 =
1.0000 -3.0000 2.0000 0.6667 A2 =
1.0000 -3.0000 2.0000 0.6667 err1 =
4.4409e-016
11
err2 =
4.4409e-016
4.2.3 一 二
线性方程的解 线性方程解的一般结论 除法运算解方程
59??13??14?610???x???的解。 711??15????812??16?
?1?2【例4.2-8】求方程??3??4（1）
A=reshape(1:12,4,3); b=(13:16)';
（2）
ra=rank(A) rab=rank([A,b]) ra = 2 rab = 2
（3）
xs=A\\b; xg=null(A); c=rand(1); ba=A*(xs+c*xg) norm(ba-b)
Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 1.8757e-014. ba =
13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 ans =
1.3874e-014
三 矩阵逆
【例4.2-9】“逆阵”法和“左除”法解恰定方程的性能对比 （1）
randn('state',0);
A=gallery('randsvd',300,2e13,2); x=ones(300,1); b=A*x; cond(A) ans =
2.0069e+013
（2）
tic xi=inv(A)*b;
12
ti=toc eri=norm(x-xi) rei=norm(A*xi-b)/norm(b) ti =
0.0341 eri =
0.0839 rei =
0.0048
（3）
tic;
xd=A\\b; td=toc
erd=norm(x-xd)
red=norm(A*xd-b)/norm(b) td =
0.0172 erd =
0.0127 red =
9.4744e-015
4.2.4
（1）
一般代数方程的解
【例 4.2-10】求f(t)?(sin2t)?e?0.1t?0.5 t 的零点。
S=solve('sin(t)^2*exp(-0.1*t)-0.5*abs(t)','t') S = 0.
（2）
y_C=inline('sin(t).^2.*exp(-0.1*t)-0.5*abs(t)','t');
t=-10:0.01:10; Y=y_C(t); clf,
plot(t,Y,'r'); hold on
plot(t,zeros(size(t)),'k'); xlabel('t');ylabel('y(t)') hold off
图 4.2-1 函数零点分布观察图
13
zoom on [tt,yy]=ginput(5);zoom off
图 4.2-2 局部放大和利用鼠标取值图
tt tt =
-2.0039 -0.5184 -0.0042 0.6052 1.6717
[t4,y4]=fzero(y_C,0.1) t4 =
0.5993 y4 =
1.1102e-016
4.3
4.3.1 一
概率分布和统计分析
概率函数、分布函数、逆分布函数和随机数的发生 二项分布(Binomial distribution)
【例 4.3-1】画出N=100, p=0.5情况下的二项分布概率特性曲线。
N=100;p=0.5; k=0:N; pdf=binopdf(k,N,p); cdf=binocdf(k,N,p); h=plotyy(k,pdf,k,cdf);
set(get(h(1),'Children'),'Color','b','Marker','.','MarkerSize',13) set(get(h(1),'Ylabel'),'String','pdf') set(h(2),'Ycolor',[1,0,0])
set(get(h(2),'Children'),'Color','r','Marker','+','MarkerSize',4) set(get(h(2),'Ylabel'),'String','cdf') xlabel('k') grid on
14
图 4.3-1 二项分布B(100, 0.5)的概率和累计概率曲线
二 正态分布（Normal distribution）
【例4.3-2】正态分布标准差的几何表示。
mu=3;sigma=0.5; x=mu+sigma*[-3:-1,1:3]; yf=normcdf(x,mu,sigma);
P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)]; xd=1:0.1:5;
yd=normpdf(xd,mu,sigma); clf
for k=1:3 %------------------------------- xx=x(4-k):sigma/10:x(3+k); yy=normpdf(xx,mu,sigma); %-------------------------------- subplot(3,1,k),plot(xd,yd,'b'); hold on fill([x(4-k),xx,x(3+k)],[0,yy,0],'g'); hold off if k<2
text(3.8,0.6,'[{\\mu}-{\\sigma},{\\mu}+{\\sigma}]') else kk=int2str(k); text(3.8,0.6,['[{\\mu}-',kk,'{\\sigma},{\\mu}+',kk,'{\\sigma}]']) end text(2.8,0.3,num2str(P(k)));shg end
xlabel('x');shg
15