90年代初，1993年Bouslama利用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。今天仍有许多学者正致力于利用神经网络控制倒立摆的研究。目前，把人工智能引入到倒立摆控制系统中的方法，也有了很大的突破：1994年8月，北航张明廉教授等人组成的人工智能小组，突破传统控制理论的模式，率先在我国的实验室里稳定住三级倒立摆。2001年6月，北师大李洪兴教授领
导的科研团队，采用“变论域自适应模糊控制理论\，成功实现四级倒立摆控制系统的计算机仿真实验；次年8月，又成功实现全球首例四级倒立摆实物系统控制。总而言之，倒立摆系统是各检验控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。
1.5本课题的主要研究内容和任务
1.5.1倒立摆的控制算法
本课题采用现代控制理论，现代控制理论控制倒立摆的平衡主要用状态反馈来实现的。状态反馈控制系统是在对倒立摆物理模型的分析及建立倒立摆的数学模型的基础上，用状态空间理论推出状态方程和输出方程，再利用状态反馈和kalman滤波相结合的方法，最终实对倒立摆的控制。目前大多采用两种状态反馈的方法来设计倒立摆控制器，即极点配置调节器的方法和LQR最优调节器的方法。 1.5.2本文的主要工作
在课题的研究中，所做的主要工作如下： ①对国内外倒立摆的研究现状进行总结和概括。
②选取旋转式倒立摆作为研究对象，介绍了系统机械结构部分，通过分析力学中的拉格朗日法，推导了一级倒立摆系统的非线性数学模型，在平衡点附近进行局部线性化，得到旋转式倒立摆系统的线性化数学模型。
③探讨了系统的稳定性、能控性和能观性。对旋转式倒立摆系统的现代控制算法进行研究，即LQR算法和极点配置算法。
④运用MATLAB和SIMULINK工具在两种算法下搭建了仿真模型，进行了仿真实验。
⑤对论文的工作进行总结，并对课题的发展方向提出几点个人的看法。
第二节 系统数学建模
建立准确的数学模型是控制系统设计的基础，特别是对于仿真研究来说尤为重要。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法和欧拉一拉格朗日原理方法。本文中，为简化旋转式倒立摆系统的数学建模过程，将采用第二种方法，即分析力学中的Lagrange方程来推导旋转倒立摆的系统模型。
2.1倒立摆系统特性分析
倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性：
1.欠冗余性。一般地，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余结构，比如说冗余机器人有较大不同。之所以采用欠冗余要在不失系统可靠性的前提下降低经济成本或者有效的空间。并通过对倒立摆控制系统的研究获得性能优越的新型控制器设计方法，进而验证其有效性及控制性能。
2.不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
3.仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。
4.耦合特性。倒立摆摆杆和旋臂之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
5.开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。针对以上倒立摆的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀以及传动齿轮的间隙等等。将悬臂和摆杆抽象为匀质
刚体，摆杆绕转轴转动，便可建立系统较为精确的数学模型。
为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型是必不可少的。
2.2欧拉一拉格朗日建模方法
1.欧拉一拉格朗日方程
拉格朗日建模方法，是将系统当作一个整体考察，并用动能和势能的标量函数来描述系统，从而大大简化了很多系统的动力学问题的研究和求解过程，特别是那些受理想约束的非自由质点系的动力学问题。我们所要研究的欧拉一拉格朗日方程，在理论上揭示了系统的最小势能原理，当系统的动能和势能可以用表达式表达时，我们就可以使用Lagrange方程来进行系统的建模，从而使建模和求解过程变得简单。 2.建模过程
假设系统的广义坐标是qi，广义速度为qi,i=1，2，?，n。Qi为对应于各个广义坐标的广义力。广义力Qi主要取决于广义坐标qi的量纲：当qi表示长度时，则Qi表示作用力；当qi表示面积时，则Qi表示表面张力；当qi表示体积时，则Qi表示应力；当qi表示转角时，则Qi表示力矩。本文的应用就是基于最后一种情况。H是用广义坐标和广义速度表示的系统功能。由分析力学中的相关知识，则系统的运动满足下列方程组：
上式即为欧拉一拉格朗日方程的一般形式。
当系统为保守系统时，此时作用于系统的主动力为保守力，即Qi=0,拉格朗日方程可以写成如下形式：
这里H为系统的动能和势能的差，记为拉格朗日算子，分析力学中又称为拉格朗日函数。
2.3 一级倒立摆系统建模
一级旋转式倒立摆系统由一个水平旋臂和一级摆杆组成，旋臂由电机驱动在
水平面内作圆周运动，通过耦合作用带动摆杆转动。
假设一级旋转式倒立摆系统中，旋臂的长度和质量分别为L1、m1，相对其水平方向零位的角位移为，角速度为，摆杆的长度和质量分别为L2、m2，相对其竖直方向零位的角位移为，角速度为，电位器质量为m3。建立如图2-1所示坐标系。
图2-1旋转式倒立摆参考坐标系
1．系统总动能 (1)摆杆动能
旋臂和摆杆的连接点为B。对于距B点l2处、长为dl的一小段，其坐标为：
这一小段的动能为
故摆杆的总动能为： （2）旋臂动能
同理，对于旋臂上距o点l1处长为dl的一小段，其坐标为：
则旋臂总动能为：
(3)旋臂与摆杆连接处电位器动能 该电位器的坐标为：
故系统的总动能为： 2．系统总势能
以摆杆自然下垂时质心所在平面为零势能面，则系统的总势能为：
3.由拉格朗日方程推导系统模型 由以上分析知，拉格朗日算子:
则由拉格朗日方程 已知系统广义坐标为：
其中，fi为广义坐标qi上非有势力对应的广义外力，M为电机输出转矩，C1、C2为阻尼系数。
代入（2-9），有：
将方程(2—9)、(2—10)在=0，=0，=0，=0处线性化，忽略高次项，得：