表示成矩阵形式： 记为：
令x1=θ1，x2=θ2，x3=，x4= 则
得出一阶旋转式倒立摆系统空间状态表达式为： 其中,
为便于仿真，本文倒立摆物理参数，如下所示： 旋臂质量ml=200g，摆杆质量m2=52g，电位器质量m3=10g 旋臂长Ll=20cm，摆杆长L2=25cm，g=9．8m／s2 旋臂绕电机转轴转动的阻尼系数C1=O．01N·m．S 摆杆绕轴转动的阻尼系数C2=O．001 N·m·S
通过公式可计算出电机力矩系数Km和电机反电势系数Ke如下：
代入方程(2—14)、(2—15)，得到一阶旋转式倒立摆系统的数学模型：
第三节 现代控制算法
3.1倒立摆系统的特性分析
3.1.1系统的稳定性
根据系统模型(2一15)，利用MATLAB的eig函数求出系统的特征值：
>>A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432]; >> eig(A) ans =
0 7.8357 -9.8468 -2.6048
由于有非负的特征值，所以系统不稳定，在不施加任何控制作用时是一个不稳定的发散系统。
3.1.2 系统可控性
利用MATLAB的ctrb函数求出系统的能控性矩阵： >>Mc=ctrb(A,B) Mc =
1.0e+003 *
0 0.0049 -0.0183 0.1529 0 0.0055 -0.0253 0.5115 0.0049 -0.0183 0.1529 -1.0361
0.0055 -0.0253 0.5115 -3.0794
再通过rank函数求出能控阵的秩： >> rank(Mc)
ans = 4
由于Mc满秩，所以系统完全能控。
3.1.3系统可观性
利用MATLAB的obsv、rank函数求出系统的能控性矩阵的秩： >>rank(obsv(A,C)) ans = 4
系统能观阵满秩，所以系统又完全能观。
3.2 极点配置法
我们都知道，控制系统的稳定性和动态性能指标很大程度上取决于其闭环系统的零极点分布情况，因此，我们进行控制系统设计时，可以根据对系统性能指标的要求，通过选择适当的状态反馈矩阵，使闭环系统的极点配置在所期望的位置，这就是极点配置方法。
极点配置法是控制系统时域设计理论中最早发展起来的一种设计思想，系统通过状态反馈可以任意配置闭环极点的充要条件是系统必须完全能控。
3.3 LQR控制方法
如果所研究的问题是线性的，且性能指标为状态变量x和控制变量u的二次型函数，则最优控制问题称为线性二次型问题，即LQR问题。LQR问题的基本思想是在线性系统的约束下，选择控制输入使得二次型函数达到最小。由于二次型性能指标有较为明确的物理概念，且采用二次型性能指标在数学处理上较简单，甚至可以得到解析形式的线性反馈规律，所以在工程实际中应用线性二次型最优控制是非常普遍的。
LQR问题，是20世纪60年代发展起来的一种普遍采用的最优控制系统设计方法，它可以归结为：当系统受扰偏离原平衡状态时，通过控制使系统状态保持在平衡位置附近，并使控制过程中的动态误差和能量消耗综合最优。
假设线性连续定常系统的状态方程为：
要寻求控制向量, ，使得如下二次型目标函数为最小，即
式(3—1)中，Q为半正定实对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R分别为状态变量x和控制变量u的加权矩阵，确定了误差和能量耗损的相对重要性。第一积分项表示系统在控制过程中，对动态跟踪误差加权平均和的积分要求，是系统运动过程中动态误差的总动量；第二积分项表示控制过程中对系统加权后的控制能量消耗的总度量，对控制能量的能量耗损加以限制。因此, 具有二次型函数的最优控制问题, 实际上就是在于用不大的控制能量来实现较小的误差控制, 以在能量和误差2方面实现综合最优控制。
根据极值原理(庞德里亚金的极大值原理)，可以得出最优控制律，即
式(3—2)中，K为最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程，即
因此，系统设计归结于求解黎卡提方程的问题，并求出反馈增益矩阵。
图3—3 LQR控制框图
u
x
第四节 控制算法仿真实验
4.1 极点配置法仿真实验
通过计算求出系统的特征值为[0 7.8357 -9.8468 -2.6048 ] 。由于有两个特征根是在复平面的右半平面,所以可以看出系统不稳定。通过计算可知系统的能控性矩阵、能观性矩阵的秩均为4 ,所以系统是完全可控且可观测的,可以通过配置系统的极点使系统稳定。
相对平衡的偏移，得到迅速修正的程度要依赖指定的特征根的值。一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但相应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。
假设取闭环极点的配置为[-1+2j,-1-2j,-2+2j,-2-2j] ，在MATLAB 下对系统仿真进行研究,取初始值为X =[30 ,10 ,0 ,0 ] 程序： clear all; clc
A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];
B=[0;0;4.8895;5.4862];
C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; p=[-1+2j,-1-2j,-2+2j,-2-2j]; K=place(A,B,p); Ac=A-B*K;