静悟学习提纲 2010.5.30
数学易错点及解题要点知识
在高考备考的过程中，要注意熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，提升高考数学成绩．
一．集合与简易逻辑：
1．集合 A、B，A?B??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；求集
2??a?2x?2?a?2?x?0对一切x?R恒成立，求a的?合的子集时是否忘记. 例如：
取植范围，你讨论了a＝2
??x,y?y?x的情况了吗？你知道集合
2?1?与
?yy?x2?1?的区别？
2．对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
nnnn2，2?1，2?1，2?2. 为 这些公式你记住了吗：（1）CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R （2）card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)； card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
3. 一个命题与其_________命题等价，其逆命题与__________等价；两个命题互为逆否命题，他们的真假性如何？若两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假又如何？ 4.若已知命题p,q的真假，如何判断p或q，p且q及非p的真假情况呢？
5.对于一个全称命题“?x?M,p(x)”，如何否定？对于一个特称命题“?x0?M,p(x0)”如何否定？
6.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、连线个，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，这种推理往往能帮助我们猜测和发现结论；还记得吗？合情推理得到的结论是否正确？
7．演绎推理的一般模式是三段论，什么是“三段论”？从逻辑上讲，只要大前提和小前提正确，结论是否正确？
二．函数、方程与不等式部分：
1．函数的几个重要性质：
（注意（1）—（3）同一函数y?f(x)的图象的对称性，而（5）—（8）是两个函数图象的对称性。）
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(1)如果函数y?f?x?对于一切x?R，都有f?a?x??f?a?x?，那么函数y?f?x? 的图象关于直线x?a对称.
(2)若函数y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?对定义域内任意x都成立，则 y?f?x?
x?的图象的对称轴为
a?b2
(3)若函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b对定义域内任意x都成立，则y?f?x?的图象的对称中心为 （a，b）；
(4)若函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?，f?b?x??f?b?x?,?a?b?对定义域内任意x都成立，则y?f?x?是以2b?a 为周期的周期函数 ；若函数y?f?x?满足
f?x?a???f?x?或
周期的周期函数。
f?x?a??11f?x?a???f?x?或f?x? ，则y?f?x? 是以2a 为
(5)函数y?f?x?与函数y?f??x?的图象关于直线x?0对称； （6） 函数y?f?x?与函数y??f?x?的图象关于直线y?0对称； （7） 函数y?f?x?与函数y??f??x?的图象关于坐标原点对称. (8)函数y?f?a?x?与函数y?f?a?x?的图象关于直线x?0对称.
(9)若奇函数y?f?x?在区间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间???,0?上也是递增函数．
(10)若偶函数y?f?x?在区间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间???,0?上是递减函数．
(11)函数y=f(x+a )(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移a个单位得到的； (12)函数y=f(x+a) (a<0) 的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移
a个单位得到
的；
(13)函数y=f(x)+a (a>0)的图象是把函数y=f(x)图象沿y轴向上平移a个单位得到的; (14)函数y=f(x)+a (a<0)的图象是把函数y=f(x)图象沿y轴向下平移|a|个单位得到的.
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(15)函数y=f(ax) (a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的
1得到的； a(16)函数y=af(x) (a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的. 2．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
3．还记得么？若一个函数为奇函数，则有f(0)?0
.任一个函数可用一个奇函数和一个偶函数表示。注意了解最大值与最小值函数表达式
f?x??f?x??f??x?f?x??f??x??22，
min?f?x?,g?x???max?f?x?,g?x???[f?x??g?x?]?f?x??g?x?2
f?x??g?x??[f?x??g?x?]2
4.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 你知道函数y?ax?bbb(a?0,b?0)的单调区间吗？（该函数在(??,?],[,??)xaa上单调递增；在[?bb,0),(0,]上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ aaf(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
x1?x2你注意到函数单调判断的这几个变式了吗.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?则f(x)为减函数.
设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，5.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
6对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？ （logab?logcbn,loganbn?logab，推论 logambn?logab）
mlogcalogab7.你还记得对数恒等式吗？（a?b）；.分数指数幂 a第 3 页 共 15 页
mn?nam（a?0,m,n?N?，
且n?1）.a?mn?1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.
2??b?4ac?0”8.“实系数一元二次方程ax?bx?c?0有实数解”转化为“，你是
22否注意到必须a?0；当a=0时，“方程有解”不能转化为??b?4ac?0．若原题中
没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
9.若ax?bx?c.?0对一切x∈R恒成立（或函数y?lg(ax2?bx?c)的定义域为R），
a?0??a?b?0或??2??b?4ac?0??c?0 ；若函数则有
2y?lg(ax2?bx?c)的值域为R ，则
a?0??a?0或??2???b?4ac?0?b?0
cx?d(a?0,ad?bc) 的定义域，值域，对称 中心，渐近线方程，单调ax?bad?bc2bcbcca性。注意到y?? 故中心(?,)渐近线方程为x??,y? baaaaax?a10.求函数y?涉及二次函数问题时，你是否注意自变量的定义域。涉及与二次函数式结构相同的函数问题时，一定要注意自变量的取值范围，求这类方程有实数解时，要慎用判别式。例如
asin2??bcos??c?0这种类型方程有实数解，不能只用??b2?4ac?0来确定。
11.（一元二次方程实根分布理论）若关于x的实系数一元二次方程ax?bx?c?0两实根x1,x2分别有如下限制时系数a,b,c的关系为
（1）x1,x2均大于m?？ （2）x1,x2均小于m?？
（3）x1?m?x2?a?f(m)?0（4）x1,x2均在区间[m,n]内?？ （5）x1,x2中有且只有一根在区间（m，n）内? ？
12分式不等式
2f(x)?a(a?0)的一般解题思路是什么？（移项通分） g(x)第 4 页 共 15 页
15.解指、对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论)；一元二次不等式
ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax2?bx?c同号，则其解
集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
2x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
13.利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?(a?b2)等求函数的最值时，你是否注2意到a,b?0（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a?b其中之一应是定值？（“一正，二定，三等”） ③求函数的极值或最值问题
14解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
三、三角函数
1.在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如y?sinx,y?sinx的周期都是?, 但y?sinx?cosx的周期为
2?.） 2? 所在的象限分别为： 2（2）当?分别在第一、二、三、四象限时,sin??cos?范围又如何？
?3. 若??(0,),则①sin????tan?，②sin??cos??1
22．（1）当?分别在第一、二、三、四象限时
t2?14.sinx?cosx?t则sinx?cosx? ；
25.在ΔABC中 1) 若sin2A?sin2B,则ΔABC为等腰三角形或直角三角形. 2) A?B是sinA?sinB(cos2A?cos2B)成立的充要条件. 3) tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC
6.函数y?sinx2,y?sinx,y?cosx是周期函数吗？（都不是） 7.在三角中，你知道1等于什么吗？（1?sinx?cosx?tanx?cotx
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