所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．
（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y
定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则
（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；
（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空
间Y中的一个邻域基．
证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族
由于上式中的每一个B∩Y是
已经表示成了
中的某些元素之并了．因此
,使得V＝
．因此U＝
中的一个元素，所以在上式中U是Y的一个基．
（2）证明（略）．
“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如
涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：
6
定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．
事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y的一个子空间．
不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．
本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样． 作业:
P95 1.2.5.7.
第 7 页 * 共 21 页
§3.2 （有限）积空间 本节重点:
掌握乘积空间的度量与拓扑的定义． 掌握积拓扑的基与子基的结构． 掌握投射的定义与性质．
掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．
给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？
为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中
的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x=
,y=
,则x与y的距离定义为
其中
是R中的两个点
的通常距离．这种定义方式推广到有限个
度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．
8
定义3.2.1 设是n≥1个度量空间．
令X＝．定义 ρ：X×X→R使得对于任何x=
y=∈X，
容易验证ρ是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz引理）我们称ρ为笛卡儿积X＝度量空间（X，ρ）为n个度量空间
的积度量；称的度量积空间．
根据上述定义明显可见，n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间，
先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．
定理3.2.1 设是它们的积空间．又设
和
分别是由度量
是n＞0个度量空间，（X，ρ）和ρ所诱导出来的
和X的拓
扑，其中i＝l，2，?，n．则X的子集族:
B={| i=1,2,?n}是X的拓扑的一个基．
证明：我们仅就n=2的情形加以证明．
首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x=和任意ε＞0，我们有：
∈X
设∈B,其中分别是中的开集．
第 9 页 * 共 21 页
如果x=∈则
其中ε=min{点，因此
}．这说明．
．由于x是
中的任意一个
这证明了
这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并．这完成了B是个基的证明．
一般情形的证明是完全类似的，请读者自己补证．
在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．
的一
定理3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则
X＝有惟一的一个拓扑T以X的子集族
B={
证明 我们有：
| ,i=1,2,?n} 为它的一个基．
（1）由于X＝
∈B所以
10