（2）如果n，则
,∈B，其中，i＝1，2，?，
（,）∩()
＝
见本定理的结论成立．
应用第二章中的定理2．6．3可
定义3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则
X＝的以子集族
B={ 称为拓扑
| ,i=1,2,?n}为它的一个基的那个惟一的拓扑T的积拓扑，拓扑空间（X，T）称为拓扑空间 的（拓扑）积空间．
设是n≥1个度量空间．则笛卡儿积X＝可以有
两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X的拓扑；另一是先用每一个拓扑空间
的度量诱导出
的拓扑，然后再将X考虑作为诸
的拓扑积空间．定理3.2.1实际上已经指出这两种拓扑是一致的，
现将这一点明确陈述如下：
定理3.2.3 设X＝积空间．则将X和间．
是n≥1个度量空间的度量
的（拓扑）积空
都考虑作为拓扑空间时，X是
特别地，作为拓扑空间，n维欧氏空间空间．
便是n个实数空间R的（拓扑）积
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定理3.2.4 设X＝是n≥1个拓扑空间
有一个基
的积空
间，对于每一个i＝1，2，?，n，拓扑空间．则X的子集族
={|,i=1,2,?n}是拓扑空间X的一个基．
证明 设为的拓扑，i＝1，2，?，n．令B如积拓扑的定义中的积拓是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可
∈B,其中
使得
于是
．由
扑的那个基．为证明 以表示为 于
是
中的某些元素的并．为证此，设
的一个基，故对于每一个i，存在
其中
D={|,i=1,2,?n}
这就完成了我们所需的证明．
例3.2.1 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间
中的所有开方体
有一个基由所有的开矩形
构成构成．
的一个基．特别地，欧氏平面
定理3.2.5 设X＝间．令T为X的拓扑，
为
是n≥1个拓扑空间的积空
的拓朴，i=1，2，?，n．则X以它的子集族
12
为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射i个坐标集
的投射．
：X→是笛卡儿积X到它的第
证明 我们仅证明n＝2的情形．
首先注意，对于任何有
根据积空间的定义，
每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，
是它的一个基．令为的
即
由于显然有我们有
．明显地，
，综上
是X的一个基．因此，是X的一个子基．
一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证
定理3.2.6 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空的投射
间，则对于每一个i＝l，2，?，n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集：X→
是一个满的连续开映射．
证明 显然是一个满射．对于X中每一个开集，根据定理3.2.5，
的连续性．
是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明
令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的象等于先求这一族集合中每一个集合的象然后再求并（参见定理1．6．3），所以为了证明开映射，只需验证B中每一个元素的
象是
是一个
中的开集即可；然而这是显然的，
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因为如果中的一个开集．
分别是中的开集，则是X
例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．
例如考虑欧氏平面证集合
是R中的闭集．
到它的第一个坐标空间R的投射
是
中的一个闭集，然而
．容易验
（B）＝R-{0}却不
定理3.2.7 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空
间．又设Y也是一个拓扑空间．则映射f:Y→X连续当且仅当对于每一个i＝1，2，?，n，复合映射个坐标空间
的投射．
f:Y→
连续，其中，
：X→Y是积空间X对于第i
证明 根据定理3.2.6，每一个投射f连续．
连续，所以当f连续时，每一个
另一方面，假设对于每一个i=1，2，?，n，复合映射的子基（参见定理3.2.5）
f:Y→连续．X
中的每一个元素的f原象
是Y中的一个开集．根据定理2．6．5可见f连续． 下面的定理3、2．8说明积拓朴的一个重要特性
定理3.2.8 设X＝间，T是X的积拓朴，设
是n≥1个拓扑空间
是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑
的积空而言，
14
从X到它的第i个坐标空间的投射 ：X→是连续映射，i=1，2，?，n．则
换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑． 证明(略)
定理3.2.9 设同胚于积空间
是n＞1个拓扑空间．则积空间
．
证明 设
根据定理3.2.6，所有这些投射都是连续的． 定义映射
k：
使得对于任何∈，
k＝容易验证k是一个—一映射．
为证明映射k连续，根据定理3.2.7，只要证明映射射
:
和连续．映
是连续的，这是因为对于每一个j连续，此外
也连续．
＝l，2，?，n－l，映射
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